Преобразованные по Фурье правые части

дифференциального уравнения

	296.1571		-266.2939		211.1140		-139.018
	60.9819		11.1140		-66.2939		96.1571

Таблица 5.4

Решение системы алгебраических уравнений

	0.7037	1.4344	2.2202	3.0914	4.0813	5.2281	6.5758	7.0194
	-0.035	-0.083	-0.158	-0.287	-0.513	-0.912	-1.618	-1.830
	0.0022	0.0063	0.0161	0.0402	0.1000	0.2488	0.6187	0.7138
	-0,0002	-0.0006	-0.0021	-0.0070	-0.0230	-0.0761	-0.2519	-0.2900
	0.0000	0.0001	0.0003	0.0011	0.0046	0.0191	0.0792	0.0903
	0.0000	0.0000	0.0000	0.0001	0.0005	0.0023	0.0115	0.0130
	0.0000	0.0000	-0.0001	-0.0004	-0.0020	-0.0108	-0.0594	-0.0667
	0.0000	0.0000	0.0001	0.0004	0.0024	0.0139	0.0804	0.0900
	6.5758	5.2281	4.0813	3.0914	2.2202	1.4344	0.7037
	-1.6185	-0.9122	-0.5133	-0.2875	-0.1585	-0.0830	-0.0355
	0.6187	0.2488	0.1000	0.1000	0.0161	0.0063	0.0022
	-0.2519	-0.0761	-0.0230	-0.0070	-0.0070	-0.0006	-0.0002
	0.0792	0.0191	0.0046	0.0011	0.0003	0.0001	0.0000
	0.0115	0.0023	0.0005	0.0001	0.0000	0.0000	0.0000
	-0.0594	-0.0108	-0.0020	-0.0004	-0.0001	0.0000	0.0000
	0.0804	0.0139	0.0024	0.0004	0.0001	0.0000	0.0000

Таблица 5.5

Решение краевой задачи

	0,0149	0.0298	0.0446	0.0589	0.0720	0.0828	0.0901	0.0927
	0.0298	0.0597	0.0896	0.1189	0.1462	0,1692	0.1849	0.1906
	0.0446	0.0896	0.1353	0.1810	0.2248	0.2629	0.2899	0.2996
	0.0589	0.1189	0.1810	0.2450	0.3090	0.3678	0.4119	0.4283
	0.0720	0.1462	0.2248	0.3090	0.3983	0.4876	0.5616	0.5897
	0.0828	0.1692	0.2629	0.3678	0.4876	0.6225	0.7574	0.8072
	0.0901	0.1849	0.2899	0.4119	0.5616	0.7574	1.0384	1.1241
	0.0927	0.1906	0.2996	0.4283	0.5897	0.8072	1.1241	1.2217
	0.0901	0.1849	0.2899	0.4119	0.5616	0.7574	1.0384	1.1241
	0.0828	0.1692	0.2629	0.3678	0.4876	0.6225	0.7574	0.8072
	0.0720	0.1462	0.2248	0.3090	0.3983	0.4876	0.5616	0.5897
	0.0589	0.1189	0.1810	0.2450	0.3090	0.3678	0.4119	0.4283
	0.0446	0.0896	0.1353	0.1810	0.2248	0.2629	0.2899	0.2996
Продолжение табл. 5.5
	0.0298	0.0597	0.0896	0.1189	0.1462	0,1692	0.1849	0.1906
	0,0149	0.0298	0.0446	0.0589	0.0720	0.0828	0.0901	0.0927
	0.0901	0.0828	0.0720	0.0589	0.0446	0.0298	0,0149
	0.1849	0,1692	0.1462	0.1189	0.0896	0.0597	0.0298
	0.2899	0.2629	0.2248	0.1810	0.1353	0.0896	0.0446
	0.4119	0.3678	0.3090	0.2450	0.1810	0.1189	0.0589
	0.5616	0.4876	0.3983	0.3090	0.2248	0.1462	0.0720
	0.7574	0.6225	0.4876	0.3678	0.2629	0.1692	0.0828
	1.0384	0.7574	0.5616	0.4119	0.2899	0.1849	0.0901
	1.1241	0.8072	0.5897	0.4283	0.2996	0.1906	0.0927
	1.0384	0.7574	0.5616	0.4119	0.2899	0.1849	0.0901
	0.7574	0.6225	0.4876	0.3678	0.2629	0.1692	0.0828
	0.5616	0.4876	0.3983	0.3080	0.2248	0.1462	0.072
	0.4119	0.3678	0.3090	0.2450	0.1810	0.1189	0.0589
	0.2899	0.2629	0.2248	0.1810	0.1353	0.0896	0.0446
	0.1849	0,1692	0.1462	0.1189	0.0896	0.0597	0.0298
	0.0901	0.0828	0.0720	0.0720	0.0446	0.0446	0,0149

Рис. 21. Пространственное распределение решения краевой задачи

Значения искомой функции, полученные при решении полевой задачи, полностью соответствуют установившимся значениям решения нестационарных задач, рассмотренных в главе 4.

5.2. Методы решения многомерных уравнений

с переменными коэффициентами

При решении краевых задач наиболее часто встречаются уравнения с переменными коэффициентами, вида

. (5.28)

Уравнение дополняется условиями на границах, образующих совместно с уравнением краевую задачу.

Указанное уравнение может быть решено конечно-разностными методами. Для этого дифференциальные операторы заменяются конечно-разностными выражениями в виде

(5.29)

где

; ;

; .

; .

Преобразовывая полученные выражения при естественной нумерации неизвестных, приходим к системе пятичленных алгебраических уравнений, записываемых в виде

.

; . (5.30)

Особенностью этой системы является следующее. Во-первых, большая размерность системы: число её неизвестных равно N^p, где р - число координат исследуемой области. В частности для рассматриваемого уравнения (5.28) число неизвестных равно N₁.× N₂. Во-вторых, матрица системы оказывается слабо заполненной. В каждой строке матрицы отлично от нуля лишь незначительное число элементов: при решении плоскопараллельной задачи число отличных от нуля элементов равно пяти, а для объёмных задач - семи. Матрица системы имеет ограниченное число диагоналей с ненулевыми элементами (рис.22). Для уравнений второго порядка с постоянными и переменными коэффициентами (5.28) матрица является симметричной и положительно определённой. В этом случае элементы диагоналей, расположенных симметрично относительно главной, имеют одинаковые значения, а все миноры системы положительны. Для уравнений других видов эти условия могут не выполняться.

Полученная система с учётом граничных условий может быть решена известными методами: прямыми и итерационными. В виду значительной размерности полученной системы алгебраических уравнений приходится использовать специальные методы, учитывающие её особенности. Если, например, использовать для решения хорошо известный метод Гаусса, то число математических операций будет равно приблизительно 2/3 (N₁.× N₂)³.

Рис.22. Матрица системы

пятичленных алгебраических уравнений

При этом, однако, большая часть операций является несодержательной, так как проводится над нулевыми элементами. Поэтому метод Гаусса применяется лишь для решения систем малой размерности. Чаще всего для подобных систем уравнений используются методы факторизации с исключением несодержательных операций. Эти методы используют возможность представления прямоугольных матриц в виде произведения треугольных и диагональных матриц [25, 27]. Решение системы, таким образом, сводится к последовательному решению систем с треугольными матрицами, что даёт значительное уменьшение числа математических операций. Для систем с симметричными матрицами рациональнее всего использовать метод квадратного корня, который помимо уменьшения число математических операций, позволяет также сократить объём используемой для решения машинной памяти. Подробно ознакомиться с этими методами можно в указанной выше литературе, а программы, реализующие эти методы, достаточно широко представлены в математических пакетах ЭВМ (MATKAD, MATLAB и др).

В качестве примера решения двумерной краевой задачи конечно-разностным методом рассмотрим приведённое выше решение уравнения Пуассона.

Пример № 12

В квадрате [0:1,0:1] решить стационарную краевую задачу

при нулевых граничных условиях

.

Принять при решении краевой задачи ту же плотность источников , что и в примере №11.

Решение краевой задачи

Пространственные координаты и разбиваем на интервалов величиной .

Дифференциальные операторы аппроксимируем конечно-разностными выражениями и после преобразования получим систему алгебраических уравнений

; ,

где: ;

Матрица коэффициентов полученной системы алгебраических уравнений представлена на рис.23.

Рис.23. Матрица реальной системы алгебраических уравнений краевой задачи

Полученную систему алгебраических уравнений решаем с использованием известных численных методов [29].

Программа решения двумерной краевой задачи

конечно-разностным методом

n1=17; n2=17; dn=16; hx=1./(n1-1); hy=1./(n2-1); dt=0.001;

a(1:225,1:225)=0.; f(1:225)=0.;

f(97:99)=-100.*hx^2; f(112:114)=-100.*hx^2;

f(127:129)=-100.*hx^2; i1=17; i2=29;

while i1<212

for i=i1:i2

a(i,i-15)=1.; a(i,i-1)=1.; a(i, i)=-4.; a(i,i+1)=1.; a(i,i+15)=1.;

end

i1=i1+15; i2=i2+15;

end

for i=16:15:196

a(i,i-15)=1.; a(i,i)=-4.; a(i,i+1)=1.; a(i,i+15)=1.;

end

for i=30:15:210

a(i,i-15)=1.; a(i,i-1)=1.; a(i,i)=-4.; a(i,i+15)=1.;

end

for i=2:14

a(i,i-1)=1.; a(i,i)=-4.; a(i,i+1)=1.; a(i,i+15)=1.;

end

for i=212:224

a(i,i-15)=1.; a(i,i-1)=1.; a(i,i)=-4.; a(i,i+1)=1.;

end

a(1,1)=-4.; a(1,2)=1.; a(1,16)=1.; a(15,15)=-4.; a(15,14)=1.; a(15,30)=1.;

a(211,212)=1.; a(211,211)=-4.; a(211,196)=1.; a(225,225)=-4.;

a(225,224)=1.; a(225,210)=1.;

x=f/a;

disp(x);