Учитывая, что

,

получим

.

С учётом ортогональности собственных функций уравнения для всех членов разложения записываются в виде

,

, ; .

Заменяя в уравнениях оператор Лапласа конечно-разностным выражением, получим для каждого систему трёхчленных алгебраических уравнений

,

; ; .

Собственные значения дискретного оператора Лапласа известны

.

Преобразовывая каждое из уравнений системы для , приведём его к виду

,

Полученную систему совместно с нулевыми граничными условиями решаем методом прогонки с минимальной затратой математических операций. Подобные решения осуществляем для всех членов разложения. Восстанавливаем искомую функцию, используя приведённое выше выражение

Результаты решения при , ;

представлены ниже.

Программа решения краевой задачи

методом разделения переменных

n1=17; n2=17; hx=1./(n1-1); hy=1./(n2-1); f(1:n1,1:n2)=0.; f(8:10,8:10)=100;

for k=2:n2-1

r1=(k-1)*pi/(2.*(n2-1)); r2=sin(r1); lam(k-1)=4.*r2*r2/(hy*hy);

end

fi(1:n1,1:n2)=0.;

for i=8:10

for k=2:n2

fi(i,k-1)=0;

for j=2:n2

r1=(k-1)*pi*(j-1)/(n2-1); r2=sin(r1); r3=f(i,j);

fi(i,k-1)=fi(i,k-1)+r2*r3;

end

end

end

for k=2:n2-1

for i=1:n1

a(i)=1.; b(i)=1.; c(i)=2.+hx*hx*lam(k-1); ff(i)=hx*hx*fi(i,k-1);

end

alf(2)=0.; bet(2)=0.;

for i=2:n1

r=c(i)-alf(i)*a(i); alf(i+1)=b(i)/r; bet(i+1)=(ff(i)+bet(i)*a(i))/r;

end

y(n1,k-1)=0;

for i=n1-1:-1:1

y(i,k-1)=alf(i+1)*y(i+1,k-1)+bet(i+1);

end

end

for i=2:n1-1

for j=2:n2-1

r4=0;

for k=2:n2-1

r1=(k-1)*pi*(j-1)/(n2-1); r2=sin(r1); r3=y(i,k-1);

r4=r4+r2*r3; u(i,j-1)=2.*r4/(n2-1);

end

end

end

disp(u);

surf(u);