Решить уравнение Пуассона

в квадрате при нулевых граничных условиях:

.

Решение задачи производим в следующей последовательности:

Разбиваем стороны квадрата на интервалов величиной

.

Записываем решение задачи и правую часть дифференциального уравнения в виде разложения по собственным функциям дискретного оператора Лапласа:

; ;

.

Подставляя указанные разложения в дифференциальное уравнение, будем иметь

,

где

,

а и - дискретные двумерные операторы Лапласа.