Ставки реинвестирования

Предположим, что n – положительное целое и что, для t=0,2,...,n-1 возможно в момент t сделать инвестицию любой суммы, так что проинвестированная сумма будет выплачена в момент n и будет генерировать доход i_t раз проинвестированной суммы, выплачиваемой в моменты t+1,t+2,...,n.

Рассмотрим, например, инвестицию 1 в момент 0. Она будет выплачена (как 1) в момент n и будет генерировать доход i₀, выплачиваемый в моменты 1,2,3...,n. В момент 1 мы можем инвестировать полученный доход i₀. Эта инвестиция будет выплачена (как i₀) в момент n и будет генерировать следующий доход – i₁i₀, выплачиваемый в моменты 2,3,...,n. И так далее.

Таким образом, для t=1,...,(n-1) доход, полученный в момент t из всех предыдущих инвестиций, будет сам инвестирован для выплаты в момент n и будет генерировать следующий доход i_t раз проинвестированной суммы.

Как много получит инвестор, если он поступает таким образом? Более обще, мы можем рассматривать ситуацию, в которой инвестор делает??? платежей различных сумм в моменты 0,1,...,n-1. Если полученный доход реинвестируется как и раньше, как много получит инвестор в момент n?

Для t=0,1,...,n-1 пусть А_t обозначает общий доход который получит инвестор в момент n, если он делает ряд инвестиций, каждая из которых равна 1, в моменты t,t+1,...,n-1 и реинвестирует доход как и раньше. Ясно, что

A_n-1=1+i_n-1 (1)

Теорема 6.7.1. Для 0≤t<n-1

A_t=(1+i_t)+(1+i_t)(1+i_t+1)+...+(1+i_t)(1+i_t+1)...(1+i_n-1) (2)

Доказательство. По таблице

Время инвестиции	t	t+1	t+2	...	n-1	n
Ежегодный взнос				...
процент		it	it	...	it	it
процент			(1+it)it+1	...	(1+it)it+1	(1+it)it+1
....	...	...	...	...	...	...
процент				...	(1+it)...(1+in-3)in-2	(1+it)...(1+in-3)in-2
процент				...		(1+it)...(1+in-2)in-1
сумма		1+ it	(1+it)(1+it+1)	...	(1+it)...(1+in-3)(1+in-2)	(1+it)...(1+in-1)-1

Пусть S_t – общие доходы, которые будут получены в момент n инвестором, который делает единственный платеж равный 1 в момент t и реинвестирует доход, как и ранее. Ясно, что

S_n-1=1+i_n-1

Теорема 6.7.2. Для 0≤t<n-1

S_t=1+i_t[1+(1+i_t+1)+(1+i_t+1)(1+i_t+2)+...+(1+i_t+1)...(1+i_n-1)] (5)

Доказательство. Доход на единственную инвестицию равную 1 в момент t равен 1 (т.е. выплата 1 в момент n) + i_t (доход полученный в момент n из начальной инвестиции в момент t) + доходы, реинвестиции дохода i_t, полученного в моменты t+1,t+2,...,n-1.

Алгебраически: S_t=1+i_t+i_tA_t+1=1+i_t(1+A_t+1). Подставляя A_t+1 из (2) получим выражение (5).

Окончательно, заметим, что если инвестор делает ряд инвестиций C₀, C₁,..., C_n-1 (C_t – платеж в момент t), и при вышеопределенных условиях реинвестирования, тогда его общий доход в момент n равен

Пример 6.7.1. Специальный накопительный план проектируется для создания капитальной суммы в момент n. Любая сделанная инвестиция будет выплачиваться в момент n по цене покупки. Инвестиция, сделанная в момент t (t=0,1,2,...,n-1) будет приносить доход, выплачиваемый ежегодно до момента n, размером i_t умноженным на инвестированную сумму. Каждый год возникающий доход из всех ранних инвестиций автоматически реинвестируется в план.

Инвестор рассматривает подобный план с i₀=0.1, i₁=0.09 и i_t=0.08 для t≥2. его альтернативные инвестиции – это депозитный счет, на который ежегодно выплачивается процент по ставке 9% в год.

Он желает инвестировать на срок n лет. Найти такие n, для которых накопительный план будет выгоднее

а) если он делает единственную инвестицию сейчас.

б) если он вносит каждый год равные суммы.

Решение. Для накопительного плана в n лет, пусть MPS(n) – окончательные доходы, при условии единственного платежа равного 1 в момент 0, HPA(n) – тоже при ряде платежей равных 1 в моменты 0,1,2,...,n-1. Ясно,

MPS(n)=A₀

HPS(n)=S₀

Так как i₀=0.1, i₁=0.09 и i_t=0.08 для t≥2, следует, что если n≥3, то

HPA(n)=1.1+1.1*1.09+1.1*1.09*1.08+...1.1*1.09*1.08^n-2= 1.1+1.1*1.09[1+0.08+...+1.08^n-2]=1.1+1.199

По депозитному счету инвестор получит .

Следовательно накопительный план выгоднее, если

1.1+1.199 >

Это неравенство выполняется, если n≤4.

Рассмотрим случай единственного платежа:

S₀=1+0.1[1+1.09+1.09*1.08+...+1.09*1.08^n-2]=1.1+0.109[1+1.08+...+

+1.08^n-2]=1.1+0.109

По депозитному счету – 1.09ⁿ. Таким образом специальный план выгоднее тогда и только тогда, когда 1.1+0.109 >1.09ⁿ. Т.е. при n≤20.