Стоимость акций

Особая ситуация, в которой процентная ставка постоянна и нет расходов, представляет теоретический интерес. В этом случае единственная премия и уровень ежегодных премий (выплачиваемых авансом) на акцию сроком n лет и страховкой равной 1 обозначаются и соответственно. Эти премии называются чистыми премиями (так как нет расходов) и при соответствующей процентной ставке, даются уравнением стоимости.

Стоимость чистых премий = стоимость бенефитов (1)

Таким образом:

=vn=1-d (2)

= =1/ -d (3)

Если существует возможность конфликта между чистой и валовой премией, обычно используют P для чистой премии и P’ для валовой ежегодной премии. Обозначения P, P’ и P” могут использоваться, когда страховка не равна 1.

Любая страховая компания, распространяющая такие акции, должна аккумулироват премии для того, чтобы выплатить страховку на дату погашения. Для акции с ежегодными премиями, сроком на n лет и страховкой равной 1, символ (0≤t≤n) – аккумулированная сумма премий, заплаченных до момента t. - это стоимость акции или резерв. Для целых t следует:

(4)

= (5)

Умножая в (5) числитель и знаменатель на νⁿ получим:

= =1- =1- (6)

Иначе, (5) можно переписать:

=ν^n-t- = ν^n-t- = ν^n-t- (7)

Выражение (7) показывает, что - стоимость в момент t страховки (которая выплачивается в момент n) минус стоимость премий выплачиваемых до и после этого момента времени. Две альтернативные формулы (6), (7) для акции: 1-я получена ретроспективно, то есть аккумулированием выплаченных премий, а 2-я – перспективно, то есть как сумма страховки минус сумма остающихся премий.

Если t –не целое, то t=r+f, где r=0,...,n, а 0<f<1. По определению, стоимость выплаченной премии в момент r не включается в . Следовательно:

(8)

Перспективное выражение:

(9)

Пример 6.2.1 Пусть t и n – целые, 0<t<n. Показать, что - убывающая функция от i (i≥0).

Решение. Заметим вначале (см. (4)), что = , при увеличении i - увеличивается, следовательно для любого к – целого, - убывающая функция по i. Также, из (6):

1- = = =(1- )(1- )…(1- ).

Если i – увеличивается, каждый из членов ,…, - убывает. Следовательно, каждый из членов (1-V) – возрастает, а - убывает.

Zillmerized резерв.

Пусть капитальная redemption акция на n лет со страховкой равной 1 и ежегодными премиями, вычисляемыми с начальным расходами I и уровнем ежегодных расходов ℓ.

Ежегодная office премия определяется уравнением:

=νⁿ+I+ℓ

= +ℓ

= +ℓ (10)

Если обозначить резерв как , то из перспективного подхода получим:

=ν^n-t+ℓ - = ν^n-t+ℓ -( +ℓ) =[из (10)]=

= ν^n-t- -I = - I = (11)

=(1+I) -I (12)

- Зилмеризованный резерв (актуарий August Zillmer, 1831-93).

Заметим, что =-I.

Использование этого резерва показывает, что начальные расходы офиса покрываются засчет валовых премий за весь период действия акции.

Ретроспективный путь дает:

= -I(1+i)^t-ℓ

Подставляя для (10) получим предыдущую формулу.