Диференціальні рівняння руху рідини й газу в тріщинуватих і тріщинувато-пористих пластах

Вище показано, що тріщинуваті пласти можна звести до двох моделей – чисто тріщинуватих (надалі просто тріщинуватих) і тріщинувато-пористих пластів. Відмінність між ними та, що блоки матриці тріщинуватих пластів вважаються непористими й непроникними. Тобто в тріщинуватих пластах нафта знаходиться тільки в тріщинах і тріщини є каналами фільтрації.

Описати фільтрацію в тріщинуватих пластах можна, виходячи з моделі Бейкера чи складніших, названих раніше, та рівнянь Нав’є-Стокса. Але в разі вивчення руху в окремій тріщині, в системі або у сітці тріщин необхідно мати детальну інформацію про розміри тріщин, їх форму, розподіл, геометрію, шорсткість і т. ін. Оскільки рух рідини має місце тільки в геометрично неправильній, хаотичній сітці тріщин, а блоки непроникні, то тріщинуваті колектори можна уподібнити пористим колекторам. У ньому зерна представлено непроникними блоками, а сполучені між собою пори – системою сполучених у загальному випадку хаотично розміщених тріщин. Такий підхід ми вже фактично використали, записавши закон Дарсі (16.11) для тріщинуватого пласта в попередньому параграфі. Тут необхідно підкреслити, що за малого коефіцієнта тріщинуватості (дійсний переріз потоку порівняно малий) і великої проникності за аналогією з пористим середовищем є великою ймовірність порушення закону Дарсі через дію інерційних сил. З промислового досвіду відомо, що дебіти нафтових свердловин у тріщинуватих пластах дуже великі (до 5-8 тис. м³/на добу) за зовсім незначних перепадів тиску.

У тріщинувато-пористих пластах характер фільтрації і рівняння, що її описують, значно складніші. Для розгляду фільтрації у тріщинувато-пористих пластах можна виходити з моделей Уорена-Рута, Каземі, де Сваана, Поларда та ін.

Г.І. Баренблатт, Ю.П. Желтов, І.М. Кочіна, які 1960 року започаткували вивчення фільтрації в тріщинувато-пористих пластах, виходячи з континуального підходу (умови нерозривності), запропонували тріщинувато-пористе середовище розглядати як систему двох вкладених одна в одну різномасштабних “пористих” середовищ, систему з подвійною пористістю або “двійчасту” систему. У кожній математичній точці простору вводяться по дві значини коефіцієнта пористості, коефіцієнта проникності, тиску та швидкості фільтрації відповідно в тріщинах і порах блоків. Оскільки проникність тріщин є значно більшою від проникності пор (див. підрозд. 16.1), то перерозподіл тиску в тріщинах відбувається швидше, ніж у порах. Внаслідок цього між тріщинами та блоками створюється різниця тисків, яка викликає перетікання рідини з блоків у тріщини (чи навпаки), що веде до поступового вирівнювання тисків.

Вважаючи, що пласт однорідний, ізотропний, горизонтальний, фільтрація однорідної рідини в обох середовищах має місце за законом Дарсі, рівняння руху для обох середовищ можна записати так:

; (16.23)

,

де – швидкість фільтрації; k _і – коефіцієнт проникності; m – динамічний коефіцієнт в’язкості рідини; р _і – тиск. Індекси 1 і 2 відносяться відповідно до тріщин і блоків.

Оскільки тріщинувато-пористий пласт представлений вкладеними одне в одне середовищами, то рівняння нерозривності потоку (рівняння балансу рідини) відрізнятиметься від відомого нам рівняння нерозривності потоку однорідного флюїду (див. підрозд. 3.1) тільки наявністю члена, який враховує перетікання рідини, причому записується воно для обох середовищ, тобто

(16.24)

де r – густина рідини; т _і – коефіцієнт пористості (тріщинуватості); q ₂₁ – масова швидкість перетікання рідини в одиниці об’єму породи (інтенсивність перетікання) із блоків у тріщини.

У рівняннях (16.24) наявність перетікання еквівалентна існуванню всередині виділеного елементарного об’єму (охоплює блоки та тріщини) джерел (стоків) рідини.

Обмін рідиною відбувається за досить повільної зміни тиску в часі, тому цей процес можна вважати квазістаціонарним, тобто не залежним явно від часу. На основі аналізу розмірностей для слабкостисливих рідин Баренблатт одержав

, (16.25)

де r – густина рідини в інтервалі тисків р ₁ та р ₂; a₀ – безрозмірний коефіцієнт, що характеризує геометрію, форму та проникність блоків:

;

l – характерний лінійний розмір блоків.

Якщо густина r залежить від тиску р, то рівняння (16.25) слід уточнити так:

, (16.26)

причому для рідини , для газу , де р ₀ – фіксований тиск, якому відповідає густина r₀; і = 1; 2.

Підставляючи рівняння руху (16.23) в рівняння нерозривності потоку (16.24) з урахуванням рівняння (16.24), дістаємо систему рівнянь неусталеної фільтрації однорідного флюїду в тріщинувато-пористому пласті:

(16.27)

Для розв’язування системи рівнянь (16.27), тобто для визначення тисків р ₁ і р ₂ , треба додатково ввести залежності r, т ₁, т ₂, k ₁ і k ₂ від тисків, а також задати початкові і граничні умови.

У разі усталеної фільтрації , решта параметрів не залежать від часу t, тому рівняння (16.25) набуває вигляду:

(16.28)

тобто кожне рівняння (16.28) можна розв’язувати окремо, незалежно одне від одного, тільки за однакових граничних умов.

Для чисто тріщинуватого пласта у випадках неусталеної і усталеної фільтрацій треба брати тільки перше рівняння відповідно із систем (16.27) і (16.28), бо в блоках фільтрація відсутня.