Решение. 1. Определим степень статической неопределимости рамы

1. Определим степень статической неопределимости рамы.

Степень статической неопределимости (число «лишних» связей) рамы рассчитываем по формуле:

C = E + I – 3 n,

где E – количество внешних связей; I – количество внутренних связей; n – количество стержней, образующих раму.

Для заданной рамы n = 4, E =4, I = 9.

Тогда С = 4 + 9 – 3 × 4 = 1, т. е. заданная рама один раз статически неопределима, или имеет одну «лишнюю» связь.

2. Выбираем основную систему.

Основная система – это статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная в результате удаления лишних связей в заданной системе.

а	б
в	г
д
е	ж
Рис. 21. Расчетные схемы и эпюры изгибающих моментов
з	и
Рис. 21. Расчетные схемы и эпюры изгибающих моментов (окончание)

Для построения основной системы в заданной раме необходимо удалить одну связь, т. к. С = 1.

Среди множества вариантов получения основной системы рассмотрим три.

Для получения первого варианта отбросим опору K с одной связью. Теперь точка К может перемещаться вертикально (рис. 21, б).

Во втором варианте (рис. 21, в) заменим жесткую заделку А с тремя связями, на неподвижный шарнир А с двумя связями. Теперь рама может поворачиваться вокруг шарнира.

В третьем варианте (рис. 21, г) жесткую заделку А заменимна ползун А с двумя связями. Теперь точка А рамы получила возможность перемещаться горизонтально.

В первых двух вариантах под нагрузкой рама будет оставаться неподвижной, и перемещения ее точек будут происходить за счет деформаций.

В третьем варианте рама оказалась подвижной в горизонтальном направлении и не может нести произвольные нагрузки. Очевидно, что этот вариант, несмотря на формально правильное число связей, является неприемлемым, т. к. перемещения точек и элементов рамы здесь могут происходить без деформации стержней. Иначе говоря, система стала геометрически изменяемой.

Два первых варианта основной системы (рисунок 21, б, в) являются приемлемыми. Выбираем вариант, показанный на рис. 21, б,т.к. в этом случае при дальнейшем расчете рамы мы сможем строить эпюры внутренних силовых факторов без расчета опорных реакций рамы.

3. Показываем эквивалентную систему.

Эквивалентная система – это основная система, к которой приложены заданные внешние нагрузки и реакции отброшенных связей.

Для построения эквивалентной системы прикладываем к основной системе заданные силы F ₁ и F ₂ и момент M, а вместо отброшенной связи ее реакцию – неизвестную силу X ₁ (рис. 21, д).

4. Записываем каноническое уравнение метода сил.

Для статически неопределимой системы с одной лишней связью каноническое уравнение метода сил имеет вид:

d₁₁ × X ₁ + D_{1 F} = 0,

где d₁₁ – перемещение точки K по направлению силы X ₁ под действием приложенной в этой точке единичной силы (единичное перемещение); D_{1 F} – перемещение точки K по направлению действия силы X ₁ под действием заданных нагрузок (грузовое перемещение).

В данной раме каноническое уравнение выражает мысль, что сумма вертикальных перемещений точки K от неизвестной реакции опоры d₁₁ × X ₁ и заданных нагрузок D_{1 F} должна равняться нулю, т. е. отсутствовать, потому что данная точка была закреплена на опоре.

Для определения перемещений d₁₁ и D_{1 F} воспользуемся универсальным методом определения перемещений. С этой целью рассмотрим раму в грузовом и единичном состояниях. Для вычисления интеграла Мора будем использовать способ перемножения эпюр, предложенный Верещагиным.

5. Строим единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов.

Для построения единичной эпюры изгибающих моментов прикладываем к основной системе в точке K силу (рис. 21, е).

Чтобы не определять опорные реакции рамы, построение эпюр будем производить со стороны свободного конца рамы.

Разбиваем раму на четыре участка: KD, DC, CB и BA и определяем значение изгибающих моментов в начале и в конце каждого участка.

При построении эпюры значение момента откладываем с той стороны стержня, где расположены сжатые им волокна.

Участок KD:

Участок DC:

Участок CB:

Участок BA:

По рассчитанным значениям строим единичную эпюру изгибающих моментов (рис. 21, ж).

Для построения грузовой эпюры изгибающих моментов M_F (рис. 21, и) прикладываем к основной системе заданные нагрузки (рис. 21, з) и строим ее по участкам.

Участок KD:

M_K = M_D = 0:

Участок DC:

M_D = M_C = M = 5 кНм.

Участок CB:

M_C = M = 5 кНм; M_B = M – F ₂ × 2 = 5 – 6 × 2 = –7 кНм.

Участок BA:

M_B = – M + F ₂ × 2 = –5 + 6 × 2 = 7 кНм;

M_A = – M – F ₂ × 2 + F1 × 3= –5 + 6 × 2 + 1 × 3= 10 кНм.

Примечание. После построения эпюр и M_F необходимо их проверить по следующим правилам:

1. В углах рамы, где нет приложенных внешних моментов, изгибающие моменты в смежных стержнях всегда равны и на эпюре их значения будут откладываться либо с внешних, либо с внутренних сторон угла.

2. В углах рамы, к которым приложены внешние моменты, внутренние моменты будут отличаться на величину внешнего момента.

6. Рассчитываем коэффициент d₁₁ и свободный член D_{1 F} канонического уравнения по способу Верещагина.

Для определения коэффициента d₁₁ (единичного перемещения) умножаем единичную эпюру на саму себя:

где – площадь i -ой фигуры на единичной эпюре; – ордината единичной эпюры под собственным центром тяжести i -ой фигуры; – жесткость поперечного сечения стержня рамы.

Перед перемножением эпюру расслаиваем (разделяем) на простейшие фигуры (прямоугольники и треугольники), обозначаем центр тяжести и площадь каждой фигуры с учетом их порядкового номера, а также показываем ординаты под центрами тяжести фигур.

Для удобства расчеты производим в табличной форме (табл. 8).

Таблица 8

Расчет единичного перемещения d₁₁

№ п/п	, м2	, м	+/–	, м3
			+
	2 × 1,5 = 3		+
			+
			+
	4 × 3 = 12		+

В результате расчетов получили, что вертикальное перемещение точки К от неизвестной отброшенной реакции связи Х₁, если она равна единице, составит:

Для определения свободного члена канонического уравнения D_{1 F} (грузового перемещения) умножаем грузовую эпюру M_F на единичную :

где w _i – площадь i -ой фигуры на грузовой эпюре; – ордината единичной эпюры под центром тяжести i -ой фигуры грузовой эпюры.

Перед перемножением грузовую эпюру M_F на участке AB расслаиваем на два треугольника, а на участке BC эпюру, состоящую из двух «неполных» треугольников, достраиваем до двух «полных» треугольников с основаниями, равными полной длине участка. Обозначаем центр тяжести и площадь каждой фигуры на грузовой эпюре, а на единичной эпюре показываем ординаты под этими центрами тяжести.

Данные для расчета D_{1 F} приведены в таблице 9.

Таблица 9

Расчет грузового перемещения D_{1 F}

№ п/п	w i, кНм2	, м	+/–	, кНм3
	5 × 1,5 = 7,5		+
			+
			–
			–	–42
			–	–60
	–97

Таким образом, вертикальное перемещение точки К от действующих на раму нагрузок составит: .

7. Определяем значение неизвестной реакции связи X ₁.

Из канонического уравнения находим: Статическая неопределимость рамы раскрыта.

8. Строим окончательные эпюры поперечных и продольных сил, а также изгибающих моментов.

К основной системе прикладываем заданные нагрузки, силу X ₁ (рис. 22, а), и рассчитываем значения внутренних силовых факторов в граничных сечениях участков рамы. Правила знаков для поперечных и продольных сил аналогичны правилам, которые применяли при построении соответствующих эпюр в примерах 1.1 и 2.2.

Участок KD:

Q_K = Q_D = – X ₁ = –1,29 кН;

а	б
в	г
	д
Рис. 22. Расчетная схема и окончательные эпюры внутренних силовых факторов для рамы

N_K = N_D = 0;

M_K = 0;

M_D = X ₁ × 2 = 1,29 × 2 = 2,58 кНм.

Участок DC:

Q_D = Q_C = 0;

N_D = N_C = – X ₁ = –1,29 кН;

M_D = M_C = X ₁ × 2 + M = 1,29 × 2 + 5= 7,58 кНм.

Участок CB:

Q_C = Q_B = – X ₁ + F ₂ = –1,29 + 6 = 4,71 кН;

N_C = N_B = 0;

M_C = X ₁ × 2 + M = 1,29 × 2 + 5= 7,58 кНм.

M_B = X ₁ × 4 + M – F ₂ × 2 = 1,29 × 4 – 6 × 2 = –1,84 кНм.

Участок BA:

Q_B = Q_A = F ₁ = 1 кН;

N_B = N_A = X ₁ – F ₂ = 1,29 – 6 = –4,71 кН;

M_B = – X ₁ × 4 – M + F ₂ × 2 = 1,29 × 4 – 5 + 6 × 2 = 1,84 кНм.

M_A = – X ₁ × 4 – M + F ₂ × 2 + F1 × 3= –1,29 × 4 – 5 + 6 × 2 + 1 × 3 =

= 4,84 кНм.

Используя полученные значения Q_i, N_i и M_i строим эпюры поперечных сил Q, продольных сил N и изгибающих моментов M (рис. 22, б, в, г).

9. Выполняем деформационную проверку решения.

Для этого убедимся в том, что перемещение точки K по направлению отброшенной связи, т. е. силы X ₁, действительно отсутствует, т. е. равно нулю (рис. 21, а).

Для расчета – перемещения точки K по направлению оси у – перемножим окончательную эпюру изгибающих моментов M (рис. 22, г) на единичную эпюру изгибающих моментов (рис. 22, д) по способу Верещагина (табл.10):

Таблица 10