Определение решения рекуррентного уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям

Формулировка задачи. Пусть имеется линейное неоднородное рекуррентное уравнение и известно его общее решение

(4.21)

в котором - любое частное решение, а (j = 1,2,..., k) – решения, образующие фундаментальную систему решений однородного уравнения .

Требуется среди всего множества решений, составляющих общее решение (4.21), выделить (найти)единственное решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям f (i) (i = 0,1,..., k -1).

Система уравнений для нахождения решения - линейная неоднородная алгебраическая система k уравнений относительно совокупности неизвестных постоянных

(4.22)

квадратная матрица которой составлена из значений = элементов последовательностей (j = 1,2,..., k), входящих в фундаментальную систему решений.

Замечание 1. Система всегда совместна и имеет единственное решение, так как ее квадратная матрица является (в силу независимости фундаментальной системы решений) невырожденной, т.е. определитель матрицы не равен нулю.

Замечание 2. Ясно, что в ситуации, когда исходное рекуррентное уравнение однородное, частное решение = 0 и, как следствие, все значения , входящие в правую часть системы, будут нулевыми.

Порядок нахождения решения линейного неоднородного рекуррентного уравнения по заданным начальным условиям:

1. Вычисляем значения последовательностей , для всех

значений n = i (i = 0,1,..., k -1) и записываем систему (4.22).

2. Решая алгебраическую систему, находим неизвестные постоянные (j = 1,2,..., k).

3. Подставляя в общее решение (4.21) вместо найденные значения постоянных , получаем конечный аналитический вид искомого решения f (n, ).

В примере 4.4 для двух линейных рекуррентных уравнений (однородного и неоднородного) с заданными начальными условиями находятся решения, удовлетворяющие этим условиям. При этом в качестве однородного фигурирует уравнение, описывающее динамику изменения последовательности чисел Фибоначчи.