По корням характеристического многочлена

Характеристический многочлен линейного рекуррентного уравнения (4.4) с постоянными коэффициентами – полином k- й степени

, (4.9)

получающийся посредством замены на всех f (n + j) (j = 0,1,..., k), фигурирующих в левой части неоднородного уравнения .

Уравнение принято называть характеристическим уравнением.

Формулировка задачи. Пусть имеется линейное однородное рекуррентное уравнение вида (4.5), в котором все коэффициенты (i = 1,2,..., k) - постоянные действительные числа. Требуется найти его общее решение , т.е. построить фундаментальную систему решений

,

входящих в линейную комбинацию (4.7).

Обоснование возможности использования характеристического многочлена для решения сформулированной задачи.

Запишем решение уравнения в виде и подставим его в (4.5). После преобразований получим

, (4.10)

где есть не что иное, как записанный в виде (4.9) характеристический многочлен.

Так как нас не интересует тривиальное решение (когда h = 0), то из (4.10) следует - аргумент h должен удовлетворять характеристическому уравнению . Решая это уравнение, получим (с учетом кратности) k корней. Каждому корню соответствует одно частное решение, причем аналитический вид решения зависит от типа (характера) корня (действительный, комплексный, кратный).

Правила определения вида частных решений уравнения (4.5) по корням характеристического многочлена:

1. Если h - простой (однократный) действительный корень, то ему соответствует частное решение вида

. (4.11)

2. Если h = a + ib - простой комплексный корень, то этому корню и сопряженному с ним (т.е. паре сопряженных корней) соответствуют два линейно независимых частных решения

(4.12)

в которых

- модуль комплексного числа (комплексного корня);

β = arctg (b / a) - аргумент комплексного числа.

3. Если h - действительный корень кратности m, то ему

(точнее всем совпадающим корням) соответствуют частные решения

, , ,..., , (4.13)

составляющие группу m линейно независимых функций натурального аргумента.

4. Если h = a + ib - комплексный корень кратности m, то с учетом предыдущих правил группе совпадающих пар сопряженных корней соответствуют частные решения

(4.14)

составляющие группу 2 m линейно независимых функций натурального аргумента.

Порядок построения общего решения линейного однородного рекуррентного уравнения с постоянными коэффициентами:

1. По заданному рекуррентному уравнению (4.5) записываем характеристический многочлен (4.9) и находим его корни.

2. Каждому корню характеристического уравнения, строго придерживаясь сформулированных правил и выражений (4.11)– (4.14), ставим в соответствие одно частное решение.

3. Используя полученную на предыдущем этапе совокупность частных решений (фундаментальную систему решений), записываем искомое общее решение в виде линейной комбинации (4.7).

Построению общих решений конкретных линейных однородных рекуррентных уравнений с помощью сформулированных выше правил посвящен пример 4.2.