С помощью метода неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов предназначен (как и в случае интегрирования дифференциальных уравнений) для нахождения частного решения линейного неоднородного рекуррентного уравнения (4.4) с постоянными коэффициентами. Он применим в ситуации, когда правая часть g (n) уравнения представляет собой некоторую сумму, слагаемыми которой служат функции натурального аргумента двух видов:

, (4.15)

, (4.16)

в которых b, b - действительные числа, а d (n), , - полиномы относительно переменной n с действительными коэффициентами.

Ниже рассматривается возможность применения метода неопределенных коэффициентов, когда правая часть g (n) рекуррентного уравнения является последовательностью вида (4.15). Для правой части вида (4.16) удобнее использовать рассматриваемый в следующей главе операционный подход.

Формулировка задачи. Пусть имеется линейное неоднородное рекуррентное уравнение с постоянными коэффициентами

(4.17)

в котором d (n) - полином s -й степени,

.

Требуется с помощью метода неопределенных коэффициентов найти аналитическое выражение частного решения записанного уравнения.

Правила определения аналитического вида частного решения неоднородного уравнения (4.17):

1. Если b не принадлежит к корням характеристического многочлена (4.9), то частное решение будет иметь вид

, (4.18)

где D (n) – полином с неизвестными (неопределенными) коэффициентами,

, (4.19)

порядок которого совпадает с порядком заданного полинома d (n).

2. Если b - действительный корень характеристического многочлена (4.9) кратности m, то частное решение будет иметь вид

(4.20)

где D (n) – полином вида (4.19).

Порядок нахождения частного решения линейного неоднородного рекуррентного уравнения с постоянными коэффициентами:

1. По заданному рекуррентному уравнению (4.17) записываем характеристический многочлен (4.9).

2. Проверяем, является ли величина b корнем характеристического уравнения, и если да, то определяем его кратность m.

3. Записываем, строго придерживаясь сформулированных правил и выражений (4.18) –(4.20), аналитический вид частного решения .

4. Подставив частное решение в рекуррентное уравнение, после преобразований получаем - слева и справа от знака равенства стоят многочлены s -й степени.

5. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях натурального аргумента n, получим систему (s +1) уравнений относительно неизвестных коэффициентов

6. Решая систему линейных алгебраических уравнений, определяем коэффициенты полинома (4.19) и записываем конкретный вид искомого частного решения.

Замечание. Если корни характеристического уравнения известны, то выполнение пункта 2 не вызывает трудностей. В противном случае можно предложить следующий алгоритм (не требующий вычисления корней). Сначала проверяем (посредством подстановки в характеристическое уравнение), является ли величина b корнем. Если да, то путем последовательного дифференцирования характеристического многочлена и подстановки величины b в его производные находим порядок первой, не обращающейся в ноль, производной. Именно этот порядок и будет искомой кратностью m корня.

Нахождению с помощью сформулированных выше правил частных решений линейных неоднородных рекуррентных уравнений с различными правыми частями посвящен пример 4.3.