п.11. Числа Белла

Определение. Число всех разбиений n элементного множества называется n - м числом Белла и обозначается bel (n). Полагаем bel (0) = 1.

Из определения чисел Белла следует, что

, n Î N .

Теорема 1. Для всех n Î N справедливо равенство

. (1)

Доказательство. Число равно числу всех разбиений n +1 элементного множества U = . Для каждого разбиения множества U элемент лежит в некотором блоке мощности r +1. Этот блок может быть выбран способами, оставшиеся блоки можно выбрать способами. Поэтому

,

что совпадает с (1).

Равенство (1) даёт удобный рекуррентный способ вычисления чисел Белла.

Таблица чисел Белла