Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть K = (K, +, ×, -, 0) - кольцо, a ÎK, n Î N . Напомним, что обозначает n - кратное элемента a.
Теорема 1. (Полиномиальная теорема) Пусть K = (K, +, ×, -, 0) - коммутативное кольцо, a ,..., a ÎK, n Î N . Тогда
(1)
где суммирование ведётся по всем Î N таким, что .
Доказательство. Имеем
, (2)
где произведение содержит n множителей. Перемножая скобки по законам дистрибутивности, учитывая коммутативность и ассоциативность умножения получим, что произведение (2) состоит из слагаемых вида
, (3)
где . Подсчитаем число слагаемых, заданных равенством (3), которое получится после перемножения скобок в (2). Каждое слагаемое, заданное равенством (3), кодируется кортежем , таким, что: ; если , то в первой скобке произведения (2) выбирается слагаемое ,..., если , то в n - ой скобке произведения (2) выбирается слагаемое ; выбранные таким образом слагаемые перемножаются и результатом их умножения является произведение заданное равенством (3). Кортеж является перестановкой с повторениями состава множества . Поэтому число слагаемых, заданных равенством (3), в произведении (2) равно
. n
Следствие 1. Число слагаемых в сумме (1) равно .
Доказательство. Число слагаемых в сумме (1) равно числу кортежей Î N и таких, что . По следствию 1 п.7, число таких кортежей равно . n
Следствие 2. Пусть K = (K, +, ×, -, 0) - коммутативное кольцо, содержащее подкольцо целых чисел, a ,..., a ÎK, n Î N . Тогда
где суммирование ведётся по всем Î N таким, что .
Доказательство. В кольце K для любых a ÎK, m Î N имеем . n
Свойства полиномиальных коэффициентов.
1. Для " n, k Î N
,
где суммирование ведётся по всем Î N таким, что .
Доказательство. Полагая в следствии 2 (над числовым полем) получаем нужное утверждение. n
2. Для " n, k Î N = + +...+ .
(Если хотя бы один из индексов полиномиального коэффициента меньше 0, то мы считаем, что полиномиальный коэффициент равен 0).
Доказательство. Доказательство производится непосредственным преобразованием правой части к левой. n
Биномиальная теорема.
Теорема 2. Пусть K = (K, +, ×, -, 0) - коммутативное кольцо, a, b ÎK,
n Î N . Тогда
. (4)
Доказательство. Из полиномиальной теоремы следует, что
, (5)
где суммирование ведётся по всем (r 1, r 2) Î N таким, что . Обозначим . Имеем 0£ r £ n,
.
Поэтому равенство (5) можно записать в виде (4). n
Из выше доказанного следует справедливость следствия 3.
Следствие 3. Пусть K = (K, +, ×, -, 0) - коммутативное кольцо, содержащее подкольцо целых чисел, a, b ÎK, n Î N . Тогда
. n (6)
Свойства биномиальных коэффициентов.
1. n Î N .
Доказательство. Применяя биномиальную теорему в кольце целых чисел (равенство (6)), при a = b = 1, получаем нужное утверждение. n
Свойство 1 даёт новое доказательство того факта, что число всех подмножеств n элементного множества равно .
2. n Î N .
Доказательство. Применяя биномиальную теорему в кольце целых чисел (равенство (6)), при a = -1, b = 1, получаем нужное утверждение. n
3. Биномиальное обращение. Пусть K = (K, +, ×, -, 0) - коммутативное кольцо, содержащее подкольцо целых чисел. Для любых последовательностей , элементов кольца K, если
, n Î N , (8)
то
, n Î N . (9)
Доказательство. Докажем, что из равенств (8) следуют равенства (9). Имеем
При вычислении использовано 4- ое основное свойство биномиальных коэффициентов из п.1 и свойство 2 биномиальных коэффициентов из этого пункта.
Аналогичным образом доказывается, что равенства (9) являются следствием равенств (8). n
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 740 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!