Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы

Арифметическим вектором называется всякая упорядоченная совокупность из чисел: и обозначается . Числа называются компонентами вектора , число компонент называется его размерностью.

Векторы и называются равными, если они одной размерности и их соответствующие элементы равны: , .

Суммой (разностью) векторов и одной размерности, называется вектор той же размерности, для которого: , .

Произведением вектора на число называется вектор той же размерности, для которого: , .

Линейной комбинацией векторов и одной размерности, называется вектор той же размерности ( и - произвольные числа), для которого: , .

Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называется пространством арифметических векторов (векторным пространством) и обозначается .

Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа , не равные одновременно нулю, такие, что (где - нулевой вектор). Если равенство выполняется, только при , то система называется линейно независимой.

Базисом системы векторов называется упорядоченная система векторов , удовлетворяющая условиям: 1) , ; 2) система линейно независима; 3) для любого вектора найдутся числа , такие, что . Коэффициенты , однозначно определяемые вектором , называются координатами вектора в базисе , а формула называется разложением вектора по базису . Рангом системы векторов называется число векторов в любом из её базисов и обозначается или . В пространстве базисом является всякая упорядоченная система из линейно независимых векторов: . Ранг пространства равен и называется его размерностью.

Координаты одного и того же вектора в двух базисах и связаны соотношением: , где матрица , столбцами которой являются коэффициенты разложения векторов по базису : , , называется матрицей перехода от базиса к базису .

Минором -ого порядка матрицы называется определитель квадратной матрицы порядка , образованной элементами матрицы , стоящими на пересечении произвольно выбранных её строк и столбцов . Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы , называется её рангом и обозначается или , а любой минор порядка , отличный от нуля – базисным минором.

Основным методом вычисления ранга матрицы является метод элементарных преобразований. Метод основан на том факте, что элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Используя эти преобразования, матрицу всегда можно привести к виду , когда все элементы, расположенные ниже элементов , будут равны нулю. Базисный минор такой матрицы имеет порядок , и, следовательно, ранг матриц и равен .

Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной зависимости системы векторов и нахождения её ранга. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, столбцами которой являются координатные столбцы векторов системы. Система векторов будет линейно зависима, если её ранг меньше числа векторов в системе.

В задачах 1.59-1.60 найти линейные комбинации векторов, если заданы арифметические векторы: ,

А); б).

А); б).

В задачах 1.61-1.62 найти вектор из уравнений.

1.61 ,

где , , .

1.62 ,

где , , .

В задачах 1.63-1.68 выяснить, являются ли следующие системы арифметических векторов линейно зависимыми или линейно независимыми.

1.63,.

1.64,.

1.65,,.

1.66,,.

1.67,,,.

1.68,,,.

1.69 Установить, в каких из нижеследующих случаев векторы линейно зависимы, и в этом случае, представить вектор как линейную комбинацию векторов

а)

б)

в)

1.70 Представить вектор как линейную комбинацию векторов и :