Течение в круглой трубе неньютоновских жидкостей, подчиняющихся степенному закону Оствальда

Прямая краевая задача, позволяющая вычислить профиль скорости установившегося течения неньютоновской жидкости в удаленном от входа в круглую трубу сечении, может быть записана [33] с использованием уравнения движения

, ,

в котором напряжение сдвига на основе степенного закона (реологического уравнения состояния, модели) может быть представлено в виде

.

С учетом того что при стабилизированном течении жидкости в удаленном от входа участке трубы давление зависит только от продольной координаты , а профиль скорости зависит только от радиальной координаты , прямая краевая задача для вычисления искомого профиля скорости течения степенной неньютоновской жидкости записывается в виде уравнения движения

, , (8.29)

с граничными условиями:

· при

; (8.30)

· при

. (8.31)

Преобразуем (8.29) к виду

,

а затем, проинтегрировав левую и правую части последнего выражения

,

получим

или

. (8.29а)

Принимая во внимание граничное условие (8.30), получаем что при

,

откуда следует, что постоянная интегрирования должна быть равна нулю

Преобразуем (8.29а) к виду

.

После интегрирования последнего уравнения в пределах от r до R

получаем

;

.

Из граничного условия (8.31) следует, что . Принимая во внимание (см. п. 8.1.3.1.) что

,

где установившийся перепад давления на участке длиной стабилизированного течения в круглой трубе, формула для вычисления искомого профиля скорости может быть представлена в виде

. (8.32)

Получим формулу для вычисления расхода g степенной неньютоновской жидкости в круглой трубе, обусловленного градиентом давления . Для этого воспользуемся известным соотношением

. (8.33)

Среднюю скорость течения жидкости находим по формуле

. (8.34)

Формулу (8.32) для вычисления профиля скорости течения можно преобразовать к виду

,

откуда с учетом (8.34) получаем

. (8.35)

Видно, что при формула (8.35) переходит в формулу (8.10а), ранее полученную для ньютоновских жидкостей.

Для того чтобы получить зависимость напряжения сдвига в степенной неньютоновской жидкости от радиальной координаты при течении в круглой трубе, воспользуемся (8.32) и сначала вычислим производную

или

.

На основании степенного реологического уравнения состояния (модели, закона), имеющего вид

,

получаем, что напряжение сдвига зависит от радиальной координаты следующим образом

или

. (8.36)

Отметим, что формула (8.36), определяющая зависимость напряжения сдвига от радиальной координаты в ламинарном потоке степенной неньютоновской жидкости при течении в круглой трубе (под действием установившегося перепада давления на участке стабилизированного течения длиной ) совпадает с формулами (8.17) и (8.17а), ранее полученными для ньютоновской жидкости и для вязкопластичной среды Шведова-Бингама.

8.2.1.3 Типичные кривые течения и основные
эмпирические модели неньютоновских жидкостей [33]

Напомним, что кривой течения называют график функции представляющий собой зависимость касательного напряжения (чаще всего называемого напряжением сдвига) от скорости сдвига .

В п. 8.1.2 было показано, что «кривая течения» для ньютоновских жидкостей представляет собой (см. рис. 8.2) прямую линию на плоскости , проходящую через начало координат (). Тангенс угла наклона этой прямой линии к оси представляет собой величину динамической вязкости Таким образом, ньютоновская жидкость характеризуется моделью течения (8.3)

(8.3а)

имеющей единственный параметр , не зависящий ни от ни от (при фиксированных составе, температуре и давлении ньютоновской жидкости).

Линейному закону Ньютона (8.3а) подчиняются газы и низкомолекулярные жидкости (вода, спирты, ароматические углеводороды, глицерин и т.п.). Однако очень многие реальные жидкости, например, растворы и расплавы полимеров, дисперсные текучие системы (суспензии, эмульсии, пасты и т.п.), в большинстве случаев имеют кривую течения, отличающуюся от ньютоновской. Это отличие может выражаться (см. рис. 8.9) в следующем:

1) кривая течения нелинейна, но проходит через начало координат; такие жидкости называют нелинейновязкими или аномальновязкими, но чаще всего – неньютоновскими псевдопластичными средами;

2) кривая течения при отсекает на вертикальной оси напряжений сдвига отрезок конечной длины ; это означает, что течение такой жидкости может начаться не при всякой внешней нагрузке (напряжении сдвига ), а лишь после превышения некоторого порога, называемого пределом текучести ; величина выражает пластические свойства среды, а наклон кривой течения к оси – ее подвижность; такие жидкости называют неньютоновскими вязкопластичными средами.

На рис. 8.9 представлены типичные кривые течения для этих двух типов неньютоновских жидкостей.

Рис. 8.9 Типичные кривые течения псевдопластичных (1) и вязкопластичных (2) сред

Рассмотрим вкратце наиболее характерные особенности течения псевдопластичных и вязкопластичных жидкостей.

Жидкости первой категории с нелинейной кривой течения, не обладающие пластической составляющей течения (для них ), можно подразделить на:

– псевдопластичные, у которых выпуклость кривой течения обращена к оси напряжения сдвига ; такая выпуклость кривой течения 1 ¢ характерна для неньютоновских жидкостей, подчиняющихся степенному закону (8.27) при n < 1;

– дилатантные (загустевающие) жидкости, кривая течения которых обращена выпуклостью в сторону оси скорости сдвига ; такая выпуклость кривой течения 1 ² характерна для неньютоновских жидкостей, подчиняющихся степенному закону (8.27) при n > 1.

Для псевдопластичных сред величина кажущейся вязкости снижается с ростом скорости сдвига , а для дилатантных – увеличивается.

Большинство аномальновязких текучих систем, встречающихся на практике, являются псевдопластичными средами, для которых характерны кривые течения, обозначенные позицией 1 ¢ на рис. 8.9.

Жидкости второго типа чаще всего называют вязкопластичными средами. Для таких сред характерны кривые течения, обозначенные позицией 2 на рис. 8.9.

Вязкопластичные среды с прямолинейной кривой течения (8.24) называют жидкостями Шведова-Бингама.

Кажущаяся вязкость жидкостей с ненулевой пластической составляющей (пределом текучести ) всегда снижается с увеличением скорости сдвига .

При напряжениях сдвига , не превышающих предела текучести , вязкопластичная среда (вязкопластик) может вести себя как идеально-упругое твердое тело Гука. Полная деформация вязкопластичной среды складывается из обратимой (упругой) деформации и необратимой (пластической) деформации.

В связи с тем, что вязкопластичные среды при малых напряжениях сдвига ведут себя как упругое твердое тело, профиль скорости при их течении в круглых трубах имеет особенность (см. рис. 8.7, б). Эта особенность заключается в том, что в приосевой зоне круглой трубы (как в случае течения среды Шведова-Бингама, так и при течении небингамовских нелинейно вязкопластичных сред) имеется область , в которой напряжение сдвига остается меньше предела текучести . В пределах этой области вязкопластичная среда движется как твердый цилиндрический стержень с наружным радиусом , величина которого зависит от предела текучести и градиента давления . В приосевой зоне профиль скорости имеет участок с постоянным значением .

Выше были рассмотрены три наиболее часто используемые «модели» кривых течения ньютоновских и неньютоновских жидкостей:

– линейный закон Ньютона (8.3), подробно обсужденный в п. 8.1.2;

– нелинейный закон (8.24) течения жидкостей Шведова-Бингама (см. п. 8.2.1.1);

– степенное реологическое уравнение состояния (8.27), обсужденное в п. 8.2.1.2.

В настоящее время, кроме рассмотренных выше моделей Ньютона (8.3), модели Шведова-Бингама (8.24) и степенной реологической модели (8.27), для описания течения (механического поведения) неньютоновских жидкостей предложены десятки других полуэмпирических и эмпирических моделей. В табл. 8.1 приведены наиболее часто используемые модели псевдопластичных («чистовязких») сред.

8.1 Основные модели псевдопластичных (нелинейновязких) сред для одноосного сдвигового течения [33]

Название модели (закона)	Формула (уравнение)
1 Степенной закон
2 Модель Эллиса
3 Модель Сиско
4 Модель Де Хавена
5 Модель Прандтля
6 Модель Уильямса
7 Модель Эйринга
8 Модель Прандтся-Эйринга
9 Модель Пауэлла-Эйринга
10 Модель Рейнера-Филиппова
11 Модель Рабиновича
О б о з н а ч е н и я: – напряжение сдвига и скорость сдвига для одноосного сдвигового течения; постоянные реологические параметры; А, В, С – коэффициенты, определяемые для конкретных жидкостей: кажущаяся динамическая вязкость соответственно для и для .

Для всех моделей, приведенных в табл. 8.1, характерны нелинейные кривые течения, проходящие через начало координат ().

Большинство таких идеализированных кривых течения не отражают все детали действительного поведения неньютоновских жидкостей во всем возможном диапазоне скоростей сдвига, а передают лишь отдельные наиболее характерные особенности такого поведения.

В табл. 8.1 большинство моделей представлены в квазиньютоновских формах записи:

;

;

.

Поэтому коэффициенты при в правых частях формул, приведенных в табл. 8.1, можно трактовать [33] как «кажущиеся коэффициенты динамической вязкости» неньютоновских жидкостей.

В настоящее время хорошо известно [33], что все нелинейновязкие псевдопластичные среды проявляют ньютоновское поведение при очень малых () и при весьма больших () скоростях сдвига. В каждой из этих областей среда может быть охарактеризована постоянными, но различными по величине кажущимися вязкостями. В первой области при наблюдается наибольшая кажущаяся ньютоновская вязкость, которую обозначают и обычно называют «вязкость при нулевой скорости сдвига». Во второй области при имеет место наименьшая кажущаяся ньютоновская вязкость, которую обычно обозначают и называют «вязкость при бесконечно большой скорости сдвига».

В табл. 8.2 приведены наиболее часто применяемые на практике модели вязкопластичных сред, характерной особенностью которых является то, что их течение начинается только при напряжении сдвига , превышающем величину предела текучести .

Подробный реологический анализ эмпирических моделей, приведенных в табл. 8.1 и 8.2, рассмотрен в [33].

При выборе той или иной реологической модели при практической работе следует исходить из следующих рекомендаций [33]:

– применяемая реологическая модель должна быть хорошо согласована с теоретическими представлениями о внутренней структуре исследуемой (используемой) среды, а также с изменениями, происходящими в этой структуре как под действием приложенного напряжения сдвига , так и в процессе течения, начинающегося после превышения предела текучести, т.е. при ;

– при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более простой реологической модели, содержащей наименьшее число параметров.

8.2 Основные модели вязкопластичных сред для одноосного сдвигового течения [33]

Название модели (закона)	Формула (уравнение)
1 Модель Шведова-Бингама
2 Модель Гершеля-Балкли
3 Модель Бриана
4 Модель Кроули-Китца
5 Модель Кэссона
6 Модель Шульмана
7 Модель Кутателадзе- Хабахпашевой
О б о з н а ч е н и я: напряжение сдвига и скорость сдвига при одноосном сдвиговом течении; предел текучести; коэффициент пластической вязкости; постоянные реологические параметры; кажущаяся динамическая вязкость; кажущаяся динамическая вязкость при ; напряжение сдвига при ; текучесть среды Кутателадзе-Хабахпашевой; текучести соответственно при и при ; предел структурной стабильности жидкости; коэффициент структурной стабильности жидкости.

Псевдопластичные и вязкопластичные среды относятся к группе так называемых реостабильных неньютоновских жидкостей. Реологические характеристики таких жидкостей не зависят от продолжительности сдвигового течения, остаются постоянными во времени независимо от предыстории жидкости.

Кроме достаточно подробно рассмотренных выше псевдопластичных и вязкопластичных сред, наиболее часто используемые модели которых приведены в табл. 8.1 и 8.2, на практике приходится иметь дело и с другими неньютоновскими жидкостями.

Большое внимание специалисты-реологи уделяют жидкостям с так называемой нестационарной реологией. Реологические характеристики таких жидкостей существенно зависят от их предыстории, в частности, от продолжительности сдвигового течения.

Среди жидкостей с нестационарной реологией следует выделить две их разновидности [33].

1 Тиксотропные среды. В состоянии покоя в объеме такой среды происходит образование определенной структуры, что обычно приводит не только к повышению кажущейся ньютоновской вязкости при нулевой скорости сдвига, но и к появлению предела текучести . Например, чтобы привести в движение тиксотропную среду, длительно покоившуюся перед этим в трубе, насос первоначально должен развить большую мощность. После того когда течение начнется, то под действием напряжения сдвига происходит постепенное разрушение структуры, имевшейся до начала течения в объеме тиксотропной среды, что приводит к заметному уменьшению нагрузки насоса и снижению потребляемой мощности. В результате продолжительного воздействия сдвиговых напряжений, тиксотропный материал приобретает реологические свойства, не зависящие от времени. Следовательно, предельные условия течения (в частности, повышенная нагрузка насоса) характерны только для начального промежутка времени, на протяжении которого происходит разрушение пространственной структуры в объеме тиксотропной среды.

При стационарном (установившемся во времени) движении тиксотропные и реостабильные жидкости мало отличаются друг от друга.

После остановки течения в объеме неподвижного тиксотропного материала постепенно вновь образуется пространственная структура, что обычно приводит к повышению кажущейся ньютоновской вязкости , а чаще всего, к появлению определенного предела текучести .

2 Реопектические среды. Для реопектических материалов характерно то, что их кажущаяся вязкость (при неизменных условиях деформирования под действием установившегося во времени напряжения сдвига) повышается со временем. Например, при начале течения реопектической среды, до этого покоившейся в трубе, нагрузка насоса в начальный момент времени будет существенно меньше, чем в случае начала движения ранее неподвижной тиксотропной среды. Однако, после начала движения кажущаяся вязкость реопектической жидкости будет постепенно повышаться, что приведет к росту нагрузки насоса и увеличению потребляемой его электроприводом мощности.

В практической работе крайне редко приходится иметь дело с реопектическими жидкостями.

В рамках данной монографии нет возможности подробно обсудить все виды неньютоновских сред, рассматриваемые в реологии, в частности, вязко-упругие материалы. С особенностями поведения других видов неньютоновских сред можно познакомиться по книге [36].