Вычисление профиля скорости установившегося течения ньютоновской жидкости в круглой трубе

Прямая краевая задача, позволяющая вычислить профиль скорости установившегося течения жидкости в удаленном от входа в трубу сечении, может быть записана [31, 32] в виде уравнения движения

, 0 < r < R, (8.6)

с краевыми (граничными) условиями:

– при r = 0

; (8.7)

– при r = R

. (8.8)

Преобразуем уравнение (8.6) к виду

.

В результате интегрирования

получаем

или

. (8.9)

Постоянную интегрирования С ₁ найдем из краевого условия (8.7).

Принимая во внимание, что при r = 0, согласно (8.7), производная от скорости течения должна быть равна нулю:

,

получаем, что это возможно только при С ₁ = 0.

Проинтегрируем (8.9) при С ₁ = 0 в пределах от r до R:

;

;

.

В силу граничного условия (8.8) ω_z(R) = 0. Вынося R ² за скобку в правой части последнего соотношения, получим искомый профиль скорости

. (8.10)

Знак минус в формуле (8.10) указывает на то, что течение жидкости происходит в направлении уменьшения давления (вектор скорости направлен в сторону, противоположную направлению вектора градиента давления).