Дисперсия среднего взвешенного

Проверка однородности является обязательной при выборе способа совместной обработки результатов несколь­ких серий измерений. Организуется она обычно на уровне эмпирических моментов: сравниваются между собой сред­ние арифметические и оценки дисперсий в каждой серии.

Различие между средними арифметическими и в двух разных сериях может быть случайным со средним значением, равным нулю, и дисперсией

Если экспериментальные данные в каждой серии подчиня­ются нормальному закону распределения вероятности, то при большом их числе (n_1,11 > 40... 50) нормальному зако­ну подчиняются и средние арифметические и , и их раз­ность G = - . При небольшом количестве экспериментальных данных в каждой серии средние арифметические и подчиняются закону распределения вероятности Стьюдента, но их разность при п₁ + п₁₁ > 40... 50 можно считать, что уже подчиняется нормальному закону. Поэ­тому, задавшись доверительной вероятностью Р и опреде­лив по верхней кривой на рис. 22 соответствующее ей значе­ние t, находят доверительные границы ± tS_G, за преде­лами которых не может оказаться разность - , если она случайная и подчиняется нормальному закону распре­деления вероятности (см. рис. 41). При несоблюдении этого условия нужно искать причину расхождения между - и в экспериментальные данные соответствующей

Рис. 41. Проверка значимости различия между средними арифмети ческими в двух сериях

серии вносить дополнительную поправку. Иногда большой массив экспериментальных данных (см. рис. 42) искусственно раз­бивают на две или большее количество серий для Обнару­жения посредством такой проверки прогрессирующего влия­ния какого-нибудь фактора.

Рис. 42 Разделение массива экспериментальных данных на две серии с целью обнаружения прогрессирующего действия влияющего фактора

Помимо выяснения значимости расхождения между средними арифметическими, проверка однородности се­рий включает сравнение оценок их дисперсий. Серии с нез­начимым различием оценок дисперсий называются равнорассеянными, с существенным различием — неравнорассеянными. Значимость различия оценок дисперсий в двух се­риях, результаты измерения в которых подчиняются нормальному закону распределения вероятности, проверяется в порядке, приведенном на рис. 43, где первоначальные операции совпадают с показанными на рис. 41 и поэтому при проверке однородности серий выполняются один раз.

В процессе вычислений образуется отношение ψ (пси), вероят­ность значений которого, больших единицы, если это число случайное, подчиняется распределению Р.А. Фишера. Поэто­му, выбрав значение интегральной функции распределения вероятности Р.А. Фишера равным вероятности Р, с которой принимается решение, можно проверить, больше или меньше ее аргумента ψ _о вычисленное значение ψ. Если ψ < ψ_о, то различие оценок дисперсий в сериях можно признать случай­ным и с выбранной вероятностью Р считать, что гипотеза о равнорассеянности серий не противоречит результатам ее проверки по критерию Р.А. Фишера. В противном случае эта гипотеза должна быть отвергнута. Значения аргумента интегральной функции распределения вероятности Р.А. Фи­шера приведены в табл.15.

Равнорассеянные серии с незначимым различием между сре­дними арифметическими считаются однородными. Если входя­щие в них экспериментальные данные получены в одних и тех же условиях, это говорит о сходимости измерений, если в разных - о воспроизводимости. Под сходимостью понимается качество измерений, отражающее близость друг к

другу результатов измерений, выполненных в оди­наковых условиях, под воспроизводимостью - в разных (в различных местах, в разное время, различными мето­дами и средствами). Если серии неоднородны (неравнорассеянные, или различие между средними арифметическими не может быть признано незначимым), об измерениях го­ворят, что они не сходятся (или не воспроизводятся).

Ценность измерительной информации вызывает стремле­ние использовать экспериментальный материал, содержа­щийся во всех сериях изменений. Экспериментальные дан­ные, входящие в однородные серии, можно рассматривать и обрабатывать как единый массив. Для сокращения вычис­лений при этом целесообразно использовать полученные ра­нее результаты:

где N=n₁+n_ІІ