Решение. 1. Среднее арифметическое результата измерения

.

2. При определении стандартного отклонения результаты вспомо­гательных вычислений сведем в третью и четвертую графы табл. 8.

3. Больше чем на 3S = 0,098067 от среднего арифметического отли­чается восьмое значение. Следовательно, оно является ошибочным и должно быть отброшено.

4. Без восьмого значения (При вычислении среднего, арифметического часто приходится уменьшать или увеличивать чисто слагаемых. Для того чтобы не пов­торять всю процедуру суммирования и не перегружать память вычис­лительных устройств, удобно пользоваться формулой =

5. Результаты вспомогательных вычисления при повторном определении стандартного отклонения сведем в пятую и шестую графы табл. 8.

s_t = 0,016.

6. Ни одно из оставшихся значений t_i, не отличается теперь от сред­него арифметического больше, чем на 3 S_t = 0,048. Можно, следователь­но, считать, что среди них нет ошибочных. Универсальный метод отыскания эффективных оценок числовых характеристик любых законов распределения ве­роятности случайных чисел или величин разработан Р.А. Фи­шером. Он называется методом максимального правдопо­добия. Сущность этого метода заключается в следующем.

Многомерная плотность распределения вероятности системы случайных значений р (Q₁, Q₂,…,Q_n) рассматривается как функция числовых характеристик закона распреде­ления вероятности. Эта функция

,

называемая функцией правдоподобия, показывает, насколь­ко то или иное значение каждой числовой характеристики "более правдоподобно", чем другие. Функция правдоподо­бия достигает максимума при значениях переменных, явля­ющихся их наиболее эффективными оценками. Последние, следовательно, находятся из условия

=max,

что равносильно совместному решению уравнений

Для упрощения вычислений функцию правдоподобия иногда логарифмируют. Так как логарифм является монотон­ной функцией, то L и ln L достигают экстремума при одних и тех же значениях переменных. Наиболее эффективные оценки числовых характеристик, следовательно, могут определяться из совместного решения уравнений

Пример 16. Определить методом максимального правдоподобия эффективные оценки среднего значения и дисперсии; результата изме­рения, независимые равноточные значения которого подчиняются нор­мальному закону распределения вероятности.

Решение. I. Плотность распределения вероятности каждого отдельного значения результата измерения

Поскольку все значения независимые, плотность распределения вероятности системы случайных величин

Таким образом функция правдоподобия

2. Логарифм функции правдоподобия

3. Уравнения, из которых находятся оценки:

4. Решение первого уравнения

совпадает с результатом, полученным методом наименьших квадратов.

5. Решение второго уравнения

дает хотя и эффективную, но как мы видели, несколько смещенную оценку.К несмещенной оценке приводит введение поправочного множителя

2.6.2. ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ. РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ

При обработке экспериментальных данных существенное значение имеет вопрос о том, подчиняется или нет результат измерения нормальному закону распределения вероятности. Непротиворечивость такой гипотезы должна быть обязатель­но проверена.

Поскольку ошибки искажают эмпирический закон рас­пределения вероятности результата измерения, постольку проверка предположения о его нормальности производится после исключения ошибок.

Правдоподобна или нет гипотеза о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, можно определить уже по виду гистограммы, пос­троенной на основании экспериментальных данных. Порядок ее построения рассмотрен в примере 13. Наглядность отобра­жения гистограммой закона распределения вероятности результата измерения зависит от соблюдения следующих правил при ее построении:

1) интервалы ∆ Q, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать, по возможности, одинаковыми;

2) число интервалов k устанавливать в соответствии со следующими рекомендациями:

Число измерений Рекомендуемое число интервалов 40— 100 7-9

100—500 8-12

500—1000 10-16

1000-10000 12-22

3) масштаб гистограммы выбирать таким, чтобы высота гистограммы относилась к основанию примерно, как 5 к 8;

Иногда по виду гистограммы можно с большой уверен­ностью заключить, что результат измерения подчиняется (или не подчиняется) нормальному закону распределения вероят­ности. Если, например, гистограмма имеет вид, показанный на рис. 34, а, то результат измерения определенно не подчиняется нормальному закону. Если же гистограмма имеет

Рис. 34. Гистограммы, построенные по экспериментальным данным

вид, показанный на, рис. 34, б, то возникает сомнение: достаточно ли хорошо она соответствует теоретической кривой нормального закона распределения плотности вероятности, показанной пунктиром? Для разрешения этого сомнения нужно иметь правило, руководствуясь которым можно было бы принимать то или иное решение.

Существует несколько так называемых критериев согла­сия, по которым проверяются гипотезы о соответствии экспе­риментальных данных тому или иному закону распределения вероятности результата измерения. Наиболее распространен­ным из них является критерий К. Пирсона. При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных дан­ных с теоретическим законом распределения вероятности ре­зультата измерения принимается сумма квадратов отклоне­ния частостей от теоретической вероятности попадания отдельного значения результата измерения в i -й интервал, при­чем каждое слагаемое берется с коэффициентом :

Если расхождение случайно, то подчиняется — распреде­лению (хи — квадрат распределению К. Пирсона). Кривые ин­тегральной функции этого распределения представлены на рис. 36.

Рис. 36. Интегральная функция распределения вероятности К. Пирсона

Интегральная функция определяет вероятность того, что случайное число примет значение, меньшее аргумента этой функции. Поэтому, задавшись значением интегральной функции распределения К. Пирсона F ( ), можно проверить, больше или меньше её аргумента (см. рис. 36) вычислен­ное значение . Если меньше, то с выбранной вероятностью можно считать случайным числом, подчиняющимся — распределению К.Пирсона, т.е. признать случайным расхожде­ние между эмпирической и теоретической плотностью рас­пределения вероятности результата измерения. Если же ока­жется, что > , то с той же вероятностью придется приз­нать, что не подчиняется распределению К.Пирсона, т.е. гипотеза о соответствии эмпирического закона распределения вероятности теоретическому не подтверждается.

Пример 17. 100 независимых числовых значений результата измерения напряжения цифровым вольтметром, каждое из которых повтори­лось т раз, приведены в первой графе табл. 9

Таблица 9

U	m	mU	U -	(U - )2	n(U - )2
8,30		8,30	-0,33	0,1089	0,1089
8,35		16,70	-0,28	0,0784	0,1568
8,40		33,60	-0,23	0,0529	0,2116
8.45		42,25	-0,18	0,0324	0,1620
8,50		68,00	-0,13	0,0169	0,1352
8,55		85,50	-0,08	0,0064	0,0640
8,60		154,80	-0,03	0,0009	0,0162
8,65		147,05	0,02	0,0004	0,0068
8,70		104,40	0,07	0,0049	0,0588
8,75		78,75	0,12	0,0144	0,1296
8,80		61,60	0,17	0,0289	0,2023
8,85		53,10	0,22	0,0484	0,2904
8,90		—
8,95		8,95	0,32	0,1024	0,1024

Проверить гипотезу о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

Решение. 1. Используя результаты вспомогательных вычислений, приведенные в третьей графе, найдем среднее арифметическое значение результата измерения:

= 8,63

2. Используя результаты вспомогательных вычислений в четвертой, пятой и шестой графах, найдем стандартнее отклонение результата из­мерения: S_u = 0,127

3. Ни одно из значений результата измерения не отличается от среднего арифметического больше чем на 3 S_u = 0,381. Ошибок, следо­вательно, можно считать, что нет.

4. При использовании критерия К. Пирсонав каждом интервале должно быть не меньше пяти независимых значений результата измере­ния. В соответствии с этим образуем интервалы так, как это представ­лено во второй графе табл. 10.

Таблица 10

i	Интервалы	mi	ti	L(ti)	Рi	mi-nPi
(Ui-1	Ui)
	(-∞	8,425)		-1,614	-0,4467	0,0533	1,67	0,523
	(8,425	8,475)		-1,220	-0,3888	0,0579	-0,79	0,108
	(8,475	8,525)		-0,827	-0,2959	0,0929	-1,29	0,179
	(8,525	8,575)		-0,433	-0,1676	0,1283	-2,83	0,624
	(8,575	8,625)		-0.039	-0,0156	0,1520	2,80	0,516
	(8,625	8,675)		0,354	0,1383	0,1539	1,61	0,168
	(8,675	8,725)		0,748	0,2728	0,1345	-1,45	0,157
	(8,725	8,775)		1,142	0,3733	0,1005	-1,05	0,110
	(8,775	8,825)		1,536	0,4377	0,0644	0,56	0,048
	(8,825	+∞		+∞	0.5000	0,0623	0,77	0,095

5. Определим, на сколько S_u в каком направлении отстоит от сред­него арифметического правая граница U_i каждого интервала:

Полученные значения параметра t_i (см. разд. 2.3.4) внесем в четвертую графу табл. 10.

6. По значению t_i из графика на рис. 22 можно определить, с какой вероятностью отдельное значение результата измерения, подчиняющего­ся нормальному, закону распределения вероятности, попадает в интер­вал вероятностью в два раза меньшей оно попадает в левую или правую половину этого интервала ( =2F(t)-1 = 2L(t)). Эта вероятность, как пока­зано в данной формуле, определяется интегралом вероятности — функцией Лапласа 2L(t), так что для повышения точности расчетов можно пользоваться не графиком, а таблицами функции Лапласа. Полу­ченные из таблиц значения L (t_i) занесены в пятую графу табл. 10.

7. Теоретическая вероятность P_i, попадания в i-и интервал отдель­ного значения результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, очевидно равна

Принимая во внимании, что L(-∞) = -0,5, L(∞) = 0,5, поместим рассчитанные значения P_i, в шестую графу табл. 10.

8. В седьмую и восьмую графу внесены результаты остальных вспомогательных вычислений. Суммирование чисел в восьмой графе дает

9. Из графика на рис. 35 видно, что рассчитанное значение , соответствующего, например, вероятности 0,95. Таким образом, мож­но принять гипотезу о том, что результат измерения подчиняется нор­мальному закону.

Критерий согласия К.Пирсона широко применяется для проверки гипотез о том, что результат измерения подчиняется вполне определенному закону распределения вероятности. При соответствующая гипотеза принимается, при — отвергается. Однако даже выполнение неравенства не может служить доказательством того, что резуль­тат измерения подчиняется этому закону распределения ве­роятности.

При использовании критерия К. Пирсона, как и в случае применения других критериев, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода состоит в отклонении верной гипотезы, а ошибка второго рода — в принятии неправильной. Для ил­люстрации на рис. 36 показаны кривые плотности

Рис. 36. Графики плотности распределения вероятнос­ти х² в случаях, когда проверяемая гипотеза верна (!) и неверна (2)

распределения вероятности величины x² в случаях, когда проверяемая гипотеза верна — кривая 1, и когда неверна — кривая 2. Если вероятности, с которой выносится решение, соответствует значение x², то при всех гипотеза будет приниматься, а при всех — отклоняться. Вероятности ошибок перво­го и второго рода при этом:

Обе они зависят от значения , которое в свою очередь оп­ределяется вероятностью P = F (), с которой принимается ре­шение. С повышением этой вероятности значение увели­чивается, вероятность ошибки первого рода уменьшается, а ошибки второго рода — возрастает, и наоборот. Таким образом, нецелесообразно принимать решение с очень высокой степенью вероятности. Обычно Р выбирается равной 0,9... 0,95.

При проверке нормальности закона распределения вероят­ности результата измерения применение критерия К. Пирсо­на дает хорошие результаты только, если п > 40…50. При 10...15< n <40...50 применяется так называемый составной критерий. Сначала рассчитывается

и проверяется выполнение условия

где и зависят от вероятности Р*, с которой прини­мается решение, и находятся по табл. 11.

Таблица 11

n	Р*= 0,90	Р*= 0,95	Р*= 0,99
	0,7409	0,8899	0,7153	0,9073	0,6675	0,9359

Если это условие соблюдается, то дополнительно про­веряются "хвосты" теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10 < п < 20 считается допус­тимым отклонение одного из независимых значений результа­та измерения Q_i от среднего арифметического больше чем на 2,5 s_q, при 20 < п < 50 — двух, что соответствует довери­тельной вероятности Р** 0,98.

Несоблюдения хотя бы одного из двух условии достаточ­но для того, чтобы гипотеза о нормальности закона распреде­ления вероятности результата измерения была отвергнута. В противном случае гипотеза принимается с вероятностью Р ≥Р* +Р**—1.

При п < 10... 15 гипотеза о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, не проверяется. Решение принимается на основании анализа априорной информации.

2.6.3. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ, ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Если итоги проверки большого массива эксперименталь­ных данных по критерию x² не противоречат гипотезе о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, то можно считать, что среднее арифметическое значение результата измерения также подчи­няется нормальному закону (см. рис. 32), а среднее значение среднего арифметического (см. разд. 2.6.1)

Как было показано в разделе 2.3.4, ни одно из случайных зна­чений, подчиняющихся нормальному закону распределения вероятности, не может отличаться от среднего значения боль­ше чем на половину доверительного интервала. На основа­нии формулы (9) можно написать

Заменяя среднее квадратическое отклонение среднего ариф­метического его оценкой

вытекающей из выражения (11), и принимая во внимание, что, как показано в разделе 2.4, Q, получим:

где — половина доверительного интервала, а t при выб­ранной доверительной вероятности определяется по верхней кривой на рис. 22.

Порядок соответствующих действий показан на рис. 33. Сначала находится стандартное отклонение среднего ариф­метического, затем выбирается доверительная вероятность и определяется соответствующее ей значение t по верхней кри­вой на рис. 22. С выбранной доверительной вероятностью значение измеряемой величины Q не отличается от среднего арифметического значения результата измерения больше, чем на половину доверительного интервала .

При небольшом объеме экспериментальных данных сред­нее арифметическое значение результата измерения, подчи­няющегося нормальному закону распределения вероятности, само подчиняется закону распределения вероятности Стью­дента (псевдоним B.C. Госсета) с тем же средним значением = Q. Графики плотности распределения вероятности, соот­ветствующие этому закону, показаны на рис. 37. При увели­чении п распределение вероятности Стьюдента быстро приб­лижается к нормальному, становясь почти неотличимым отче­го уже при п > 40... 50.

Доверительная вероятность того, что любое случайное значение среднего арифметического, подчиняющегося закону распределения вероятности Стьюдента, не отличается от среднего значения больше, чем на половину доверительного интервала,

где S_n (t) — интегральная функция распределения вероятнос­ти Стьюдента. По этой формуле на рис. 38 построены графи­ки, показывающие, какое значение имеет объем выборки п. При п = 4, например, вероятность того, что никакое значе­ние среднего арифметического, подчиняющегося закону распределения вероятности Стьюдента, не отличается от средне­го значения больше чем , составляет 0,86; при п = 6она равна 0,9; при п = 10 получается равной 0,924; при п = 20 уже 0,94 и т.д. Верхняя кривая на рис. 38 соответствует усло­вию п > 40... 50 и практически не отличается от верхней кривой на рис. 22.

По аналогии с предыдущим нетрудно показать, что

где по-прежнему — половина доверительного интерва­ла, а t при выбранной доверительной вероятности определяет­ся по графику на рис. 38.

Порядок действий при обработке небольшого объема экспериментальных данных отличается только тем, что после выбора доверительной вероятности t с учетом п определяется по графику на другом рисунке.

При совсем незначительном количестве эксперименталь­ных данных (n < 10...15) и принятой гипотезе о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону рас­пределения вероятности, выявление ошибок по "правилу трех сигм" не производится. Остальной порядок действий (см. рис. 33) не отличается от предыдущего. Доверительный интервал при фиксированной доверительной вероятности, как это видно из графика на рис. 38, с уменьшением объе­ма экспериментальных данных расширяется; точность изме­рения, следовательно, снижается, приближаясь к точности однократного измерения, при п → 1.

Рис. 38. Вероятность попадания среднего арифметического в окрестность среднего значения

2.6.4. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ, НЕ ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Если гипотеза о том, что результат измерения подчиня­ется нормальному закону распределения вероятности, отвер­гается, то существует несколько возможностей.

1. При особо точных и ответственных измерениях может быть поставлена задача определения закона распределения вероятности результата измерения. Однозначного решения она не имеет, и вывод о том, что экспериментально найден­ное распределение вероятности подчиняется какому-то кон­кретному закону, может быть сделан лишь с той или иной вероятностью. Основные требования к проведению иссле­дований, порядок математической обработки эмпирических данных и выбора математической модели распределения уста­новлены специальным документом Госстандарта МИ199—79. Это довольно сложная и трудоемкая процедура, требующая значительных дополнительных затрат, и необходимость ее в каждом отдельном случае должна быть технико-экономнчески обоснована.

После определения с той или иной вероятностью вида за­кона распределения вероятности результата измерения, мето­дом максимального правдоподобия (см. разд. 2.6.1) уста­навливаются оценки его числовых характеристик, и наосно­ве их использования разрабатывается вся последующая процедура обработки экспериментальных данных. Такая обработка называется оптимальной и обеспечивает наивысшую точ­ность при выбранных критериях.

2. Если закон распределения вероятности результата изме­рения незначительно отличается от нормального (чаще всего это отличие проявляется в повышенной вероятности больших отклонения от среднего значения), то применяются так назы­ваемые робастные (устойчивые к отклонениям от нормального закона распределения вероятности) методы обработки экспе­риментальных данных. Все они основаны на ослаблении влияния больших отклонении от среднего значения на его оцен­ку.

В простейшем случае большие отклонения просто отбрасываются, что приводит к усеченному нормальному закону распределения вероятности результата измерения (см. табл. 7). В этом случае оценкой среднего значения становится меди­ана закона распределения вероятности результата измерения

В некоторых случаях большие отклонения не отбрасываются, а заменяются на ближайшие из оставшихся значений результата измерения, либо включаются в обработку с малы­ми весовыми коэффициентами. Порядок дальнейшей обработ­ки экспериментальных данных не меняется. Предельным слу­чаем усечения является оставление одного (при нечетном п ) или двух (при четном п ) значений результата измерения.

Среднее арифметическое не относится к устойчивым (робастным) оценкам. Объясняется это тем, что даже очень редкие большие отклонения (выбросы), не подчиняющие­ся нормальному закону распределения вероятности, играют по критерию (12) существенную роль. Операция возведения в квадрат делает их доминирующими среди слагаемых, а эффективность оценки, полученной методом наименьших квадратов, резко падает.

Ослабление влияния больших отклонений на оценку сред­него значения (т.е. повышение ее устойчивости) достигается при синтезе оценки по критерию эффективности, в котором квадратичная зависимость заменена на более слабую. Пока­зателем эффективности (мерой рассеяния), в частности, мо­жет быть сумма отклонений от среднего значения или не­которая ее функция. Оценки, синтезированные по критерию

называются М-оценками. Функция при малых значениях аргумента выбирается близкой к квадратичной, а при больших — возрастающей медленнее, чем квадратичная. В зависимости от вида этой функции различают робастные оценки Хубера, Хампела, Андрюса, Тьюки и другие. Все они слабо зависят от выбросов и отклонений от нормального закона распределения вероятности, а в случае, когда результат измерения подчиняется нормальному закону, близки к оценке среднего значения, полученной методом наименьших квадра­тов.

Разновидностью М-оценок являются l^Р -оценки, получаемые при

В отличие от перечисленных М-оценок они более эффективны вблизи других законов распределения вероятности, отличных от нормального. В частности, l¹ -оценка или оценка наимень­ших модулей, получаемая из условия

и совпадающая с медианой, оптимальна при экспоненциаль­ном законе распределения вероятности результата измерения.

Используются и другие робастные оценки.

3. С невысокой точностью значение измеряемой величины можно установить даже не интересуясь законом распределе­ния вероятности результата измерения. Среднее арифметичес­кое в этом случае может оказаться неэффективной оценкой, но его все равно целесообразно использовать, так как при всех обстоятельствах дисперсия среднего арифметического согласно соотношению (11) в п раз меньше дисперсии результата измерения, оценка которой на основании пятого свойства дисперсии (см. разд. 2.2) может быть представлена в виде

Стандартное отклонение среднего арифметического при лю­бом законе распределения вероятности

Задавшись доверительной вероятностью Р, по нижней кри­вой на рис. 22 можно определить, на сколько среднее арифметическое может отличаться от среднего значения резуль­тата измерения при любом законе распределения вероят­ности. С неменьшей вероятностью

где, как обычно, — половина доверительного интер­вала.

Соответствующий порядок действий показан на рис. 33.