Движение тел с переменной массой

Во многих задачах имеет место случай, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.). Определим уравнение движения такого тела.

Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости частицей. Пусть в некоторый момент времени масса движущейся частицы А равна , а присоединяемая (или отделяемая) масса имеет скорость относительно этой частицы.

Введем вспомогательную инерциальную K -систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела А в данный момент . Это значит, что в момент частица А покоится в этой системе. Предположим, что за промежуток времени от до частица А приобретает в K -системе импульс . Этот импульс частица А получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы , которая приносит (уносит) импульс , во-вторых, вследствие действия силы со стороны окружающих тел или силового поля. Таким образом, можно записать, что

где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус - отделению. Оба эти случая можно объединить, представив в виде приращения массы частицы А (действительно, в случае присоединения массы а в случае отделения Тогда предыдущее уравнение примет вид

.

Поделив это выражение на , получим

(4.26)

где - скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.

Это уравнение является основным уравнением динамики материальной точки с переменной массой. Его называют уравнением Мещерского. Будучи выведенным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности верно и в любой другой инерциальной системе. Заметим, что если система отсчета неинерциальная, то под силой следует понимать результирующую как сил взаимодействия данного тела с окружающими телами, так и сил инерции.

Последний член уравнения (4.26) носит название реактивной силы: . Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то и вектор совпадает по направлению с вектором относительной скорости; если же она отделяется, то и вектор противоположен вектору .

Уравнение Мещерского по своей форме совпадает в основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева - произведение массы тела на ускорение, справа - действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы нельзя внести массу под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, так как .

Отметим два важных частных случая.

1. Если , т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то , и уравнение (4.26) принимает вид

(4.27)

где - масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет, например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок.

2. Если , т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (4.26) принимает другой вид

или

(4.28)

Иначе говоря, только в этом частном случае действие силы определяет изменение импульса тела с переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера.

Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.

Пример. Ракета движется в инерциальной K-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью . Определить зависимость скорости ракеты от ее массы , если в момент старта начальная масса ракеты равна .

В данном случае и из уравнения (4.26) следует

Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим

где знак минус показывает, что вектор скорости ракеты противоположен по направлению вектору скорости вытекающих газов . Эта формула носит специальное название - формула Циолковского. Отсюда видно, что конечная скорость ракеты в случае не зависит от времени сгорания топлива: определяется только отношением начальной массы ракеты к оставшейся массе m.

Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость , то из закона сохранения импульса для системы ракета - гoрючее следует

,

где - скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда определяем скорость ракеты

Скорость ракеты в этом случае оказывается меньше, чем в предыдущем при условии, что отношение масс одинаково. В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости от отношения масс в обоих случаях. С ростом в первом случае, когда вещество отделяется непрерывно, скорость ракеты, в соответствии с первой формулой, растет неограниченно, во втором же случае, когда вещество отделяется одновременно, скорость стремится к пределу, равному