Вопрос 19 момент инерции, Теорема Штейнера

Момент инерции относительно неподвижной оси – величина, равная произведению массы тела на квадрат расстояния до рассматриваемой оси

Th Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния а между осями:

J = J_c + ma²

где

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

a — расстояние между указанными осями.

Если масса тела распределена неравномерно, то:

J= интеграл (r² dm)

А вообще: J= mR²/2

тело	Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр	Ось симметрии	mR2
Сплошной цилиндр/ таблетка		½ mR2
Прямой тонкий стержень	Перпендикулярно стержню	1/12ml2
Шар радиусом R	Через центр шара	2/5 mR2

20.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Обозначение: I или J.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

mi — масса i-й точки,

ri — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

где:

— масса малого элемента объёма тела ,

— плотность,

— расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то