Обработка экспериментальных данных некоторыми другими функциями

Во многих случаях экспериментальные данные могут быть аппроксимированы не только полиномами различных порядков. Это обусловлено физическими, экономическими и другими законами исследуемых процессов, а также опытом испытателя. Если, например, испытатель уверен, что параметры какого-либо прибора, снятые с испытательного стенда, по своим физическим характеристикам являются близкими к экспоненциальным, то нет смысла аппроксимировать их полиномами. Также экспериментальные данные могут быть аппроксимированы показательными, логарифмическими, тригонометрическими и другими функциями.

В качестве примера рассмотрим аппроксимацию экспериментальных данных, приведенных в таблице 5.3, экспоненциальной функцией , где и - параметры искомой функции, которые требуется определить.

Сформулированную задачу будем решать методом наименьших квадратов. Функция в этом случае запишется так:

.

Расписав необходимые условия экстремума этой функции по переменным и , и, сделав несложные преобразования, получим СЛАУ второго порядка вида:

Решая эту систему любым известным методом, определим коэффициенты экспоненциальной функции и .

Пример 5.3. По заданной в таблице 5.3 системе точек

Таблица 5.4.

		0,7	1,39	1,65	1,93	2,2	2,45	2,79
	0,05	0,07	0,24	0,42	0,66	0,78	0,89	1,07

методом наименьших квадратов построить аппроксимационную экспоненциальную функцию вида:

.

Для этого необходимо вычислить следующее суммы:

, , , ,

и решить СЛАУ второго порядка относительно неизвестных коэффициентов и :

Значения неизвестных коэффициентов равны: , .

Тогда искомая экспоненциальная функция будет иметь вид:

.

График этой функции, а также экспериментальные данные в таблице 5.4, приведены на рисунке 5.3.

Рис.5.3.