Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Понятие о расчете оболочки произвольной формы



При изучении оболочек произвольной формы в общем случае пользуются системой криволинейных координат. Для оболочек вращения применяют цилиндрическую или сферическую системы.

При цилиндрической системе (рис. 80) за координаты прини­маются: расстояние z по верти­кали, отсчитываемое от точки О, определяющее параллель П, и угол q, отсчитываемый от началь­ной плоскости у0z, определяющий положение плоскости BOA, в кото­рой лежит меридиан М. Пересе­чение параллели П и меридиана М определяет положение точки К на поверхности. Радиус R пред­ставляет собой функцию от z.

Рис. 80

При сферической системе за координаты принимаются: угол j, отсчитываемый в плоскости BOA от вертикальной оси z, опреде­ляющий положение параллели П, и угол q, определяющий поло­жение меридиана М. Радиус r представляет собой функцию от j.

Выделим из оболочки, нагруженной непрерывно распределен­ной нагрузкой, элемент АОВ (рис. 81, а) двумя парами смежных взаимно ортогональных сечений, содержащих главные кривизны оболочки. Обозначим через R1 и R2 соответствующие радиусы главных кривизн. Взаимно перпендикулярные оси х и у направим по касательным в точке О к линиям главных кривизн, а ось z - по нормали к срединной поверхности в точке О. На элемент АОВ действуют десять погонных усилий (рис. 81, б): изгибающие моменты Мх и My,

а б

Рис. 81

крутящие моменты Нх и Ну, продольные силы Nx и Ny, поперечные силы Qх и Qy и сдвигающие силы Т и Туx. Так как элемент выделяется взаимно ортогональными плоско­стями, нормальными к срединной поверхности, в пересечении пло­скостей с оболочкой образуются фигуры, имеющие разные длины волокон в зависимости от длины радиусов R1 и R2. Размер волокна длиной, равной единице (рис. 82), на расстоянии z от срединной по­верхности с

Рис. 82

радиусом R после деформации окажется

Поэтому для погонных усилий, действующих по граням выделенного эле­мента АОВ (см. рис. 81, б и 82), можно составить такие выра­жения:

(5.1)

При переходе от одной грани выделенного элемента к соседней, расположенной на расстоянии dS1 или dS2 (рис. 81, а) от первой, необходимо учитывать приращение усилий.

Вследствие того, что трапеции, образующие боковые грани элемента, различны, сдвигающие силы Т и Туx не равны между собой, несмотря на справедливость закона парности tху = tуx касательных напряжений. Однако обычно толщина h, а, следова­тельно, и расстояние z малы по сравнению с радиусами R1 и R2, поэтому отношения и малы по сравнению с единицей и могут быть сразу отброшены. Тогда

,

т. е. закон парности сдвигающих усилий становится действи­тельным.

Для решения статически неопределимой задачи о напряженном состоянии можно составить следующие уравнения:

1. Пять дифференциальных уравнений равновесия, представ­ляющих собой суммы проекций всех сил, действующих на эле­мент, на оси Ох, Оу и Оz и суммы моментов этих сил относительно осей Ох и Оу. Уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно оси Оz превращается в тождество 0 = 0 на осно­вании закона парности касательных напряжений.

2. Три геометрических дифференциальных уравнения, связы­вающих относительные деформации ex, ey и gxy с составляющими перемещениями u0, v0 и w0 срединной поверхности, и три геоме­трических дифференциальных уравнения, связывающих вели­чины kx и ky, характеризующие изменения кривизн срединной поверхности, и величину J, характеризующую ее кручение, с составляющими u0, v0 и w0. Появление переме­щений kx, ky и J связано с тем, что элемент оболочки под нагрузкой получает дополнительное искривление.

3. Шесть уравнений, аналогичных закону Гука для пластины, связывающих между собой соответствующие усилия с составляю­щими деформациями.

Таким образом, для нахождения восьми усилий Мх, My, Qx, Qy, Hx = Ну, Nx, Ny, Т = Туx, шести составляющих переме­щений u0, v0, w0, kx, ky и J и трех относительных деформаций ex, ey и txy, т. е. семнадцати неизвестных, имеем 5 + + 3 + 3 + 6 = 17 уравнений.

Число граничных условий для каждой кромки вырезанного элемента равно четырем. Они могут быть геометрическими (равен­ство нулю перемещений и, v и w), статическими (равенство нулю погонных усилий М, Q, N и Т) или смешанными. Например, для свободно опертой кромки (b = const, рис. 83) можно написать смешанные условия: и = 0, w = 0, Мx = 0, Nx = 0. Общее число условий равно числу произвольных постоянных, получающихся при интегрировании дифференциальных уравнений.

Рис. 83

Решение системы семнадцати уравнений при заданных гранич­ных условиях в общем виде в ряде случаев не может быть получено. Поэтому пользуются обычно решениями для частных случаев формы оболочки и ее нагружения, дающих возможность упростить общие уравнения.

Одно из простых решений получается в тех случаях, когда напряжениями изгиба можно пренебречь, учитывая лишь напряжения, связан­ные с деформацией срединной поверхности. Соответствую­щая теория называется безмоментной или мембранной. Она применима в тех слу­чаях, когда радиусы средин­ной поверхности изменяются плавно, оболочка не имеет переломов и резких изменений толщины. Нагруз­ка, действующая на оболоч­ку, тоже должна изменяться плавно или быть постоянной.

По безмоментной теории предполагается, что изгибающие и крутящие моменты, а также поперечные силы отсутствуют, т. е.

Mx = My = H = Qx = Qy = 0,

и остаются лишь продольные силы Nx и Ny и сдвигающие силы Тxy = Тyx.

В случае, если оболочка представляет собой оболочку вращения и нагрузка симметрична относительно оси вращения и нормальна к срединной поверхности оболочки, сдвигающие силы Т = Тух также отсутствуют и остаются только продольные силы; меридио­нальные Nm и окружные NT.

При постоянной интенсивности давления q и постоянных радиусах R1 и R2 главных кривизн меридиональные, так же как и окружные погонные силы Nm и NT, одинаковы во всех точках и напряженное состояние оболочки однородное.





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 191 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...