![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть дана однородная СЛАУ, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными
. (1)
Отметим, что добавление столбца из нулей не изменяет ранга матрицы СЛАУ (1). Поэтому на основании теоремы Кронекера-Капелли эта система всегда совместна и имеет, по крайней мере, нулевое решение (x1 =x2 =...,= xn =0). Если определитель системы (1) отличен от нуля и число уравнений равно числу неизвестных, то по теореме Крамера, нулевое решение является единственным.
Рассмотрим теперь другой случай, когда ранг матрицы СЛАУ (1) меньше числа неизвестных, то есть r(A)<n. Тогда данная система кроме нулевого решения может иметь и ненулевые решения. Для нахождения этих решений нужно в системе (1) выделить r линейно независимых уравнений, а остальные отбросить. В выделенных уравнениях в левой части оставляем r базисных неизвестных, а остальные n-r свободных неизвестных переносим в правую часть. В результате, приходим к системе
(2)
решение которой можно определить по формулам Крамера или Гаусса.
В данной системе имеем r базисных неизвестных x1, x2, ..., xr и n-r - свободных неизвестных: xr+1, xr+2, ..., xn. Система (2) имеет бесчисленное множество решений. Однако, среди этого множества есть решения линейно независимые между собой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментальной системой решения СЛАУ называются n-r линейно независимых решений однородной системы уравнений.
ПРИМЕР. Дана однородная система уравнений
Найти ее общее решение и фундаментальную систему уравнений.
Ш а г 1. Вычислим ранг матрицы системы, используя элементарные преобразования:
а) отбрасываем 2-й столбец, так как он пропорционален 1-му;
б) 3-й столбец сначала умножим на (-2) и прибавим ко 2-му, а затем умножим его на (-3) и сложим с 1-м, умножим на 2;
в) отбрасываем 1-й столбец, так как он пропорционален 2-му;
г) 1-й столбец умножим на 3 и прибавим ко 2-му;
д) 1-ю строку умножим на 5 и прибавим к 4-й;
е) отбрасываем 3-ю строку и делим 1-ю на (-1), а 2-ю - на 2.
Имеем
Так как r(A)= 2, то есть r £ min(m,n), то данная система имеет фундаментальную систему решений, число которых n -2=4-2=2.
Определим теперь общее решение системы. Для этого определим базисный минор, то есть минор второго порядка, отличный от нуля. Таким минором является, например, минор, составленный из коэффициентов при x 3 и x 4 в первом и втором уравнениях системы: Оставляя базисные неизвестные x 3 и x 2 в левой части и перенося свободные неизвестные x 1 и x 2 в правую часть, приходим к системе
Ее решение, которое определим по формулам Крамера, имеет вид:
Чтобы получить фундаментальную систему решений нужно найти любые два линейно независимых решения данной системы. Полагая сначала x 1 = 1, x 2 =0, имеем x 3 =-2,5; x 4 =3,5; полагая затем x 1 =0, x 2 =1, получим x 3 =5, x 4 =-7.
Таким образом, фундаментальная система решений имеет вид
,
а общее решение , где с 1 и с 2 - произвольные числа.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 195 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!