Теорема о совместимости (СЛАУ)

В общем виде система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x₁, x₂,..., x_n записывается так:

(1)

Кратко СЛАУ (1) может быть записана так:

(2)

или

где

A = , (3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если присоединить к матрице А столбец свободных членов, то получится матрица , которая называется расширенной матрицей СЛАУ (1):

A = (4)

Из определения матрицы A СЛАУ (1) и расширенной матрицы ясно, что их ранги и либо равны между собой, либо ранг на единицу больше, чем . Вопрос о совместности СЛАУ (1) решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

ТЕОРЕМА 1. СЛАУ (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы A, то есть когда

ПРИМЕР. Исследовать на совместимость следующую СЛАУ:

Составим матрицу данной системы и вычислим ее ранг:

поскольку то .

Далее, составим расширенную матрицу системы

Так как а окаймляющий его минор

то

Итак, то есть данная система совместна.

СЛЕДСТВИЕ 1. Если СЛАУ (1) совместна и ранг матрицы A системы (1) равен числу неизвестных п, то система имеет единственное решение.

СЛЕДСТВИЕ 2. Если система (1) совместна и ранг матрицы меньше числа неизвестных n, то система имеет бесчисленное множество решений.

ТЕОРЕМА 2. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам

где

,

.

.