Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется

определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если имеет несколько решений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Две СЛАУ с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, если они или обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.

Так следующие элементарные преобразования переводят данную СЛАУ в эквивалентную:

а) перестановка двух уравнений системы;

б) умножение обеих частей уравнения системы на любое, отличное от нуля число;

в) прибавление (вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число, отличное от нуля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. СЛАУ, в которой все свободные члены b₁, b₂,..., b_n равны нулю называется однородной СЛАУ.

Матрицей A СЛАУ (1) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этой системы

A = . (2)

Используя понятие матрицы A СЛАУ (1) и матриц-столбцов, введенных соотношениями:

(3)

запишем систему (1) следующим образом

(4)

Из вида записи (4) следует, что первая компонента вектора вычисляется как произведение первой строки матрицы A на вектор-столбец .

Приравнивая полученное выражение первой компоненте матрицы-столбца B, получим первое уравнение системы (1)

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +... + a_1nx_n = b₁

Второе уравнение СЛАУ (1) получается, если вторую строку матрицы A умножить на матрицу-столбец и приравнять полученное соотношение второму элементу матрицы и т.д.

Пример. Записать в матричной форме следующую СЛАУ:

ÑМатрица A для этой системы имеет вид

а матрицы-столбцы запишутся так

Тогда матричная запись исходной системы будет иметь вид

или

§ 2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ