Пример 4.2. Определение 4.6. Выражение

Определение 4.6. Выражение

называется ковариацией величин и . Очевидно, что для независимых случайных величин и

. (4.8)

Определение 4.7. Средним квадратическим отклонением (или стандартом) случайной величины называется величина

(4.9)

Задача 4.1. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 дефектных. Из всей партии случайным образом отбираются с целью проверки качества 5 изделий (случайная выборка). Найти математическое ожидание числа дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Решение. Случайное число дефектных изделий, содержащихся в выборке, может иметь следующие значения:

Вероятности того, что принимает

данное значение , равны:

Искомое математическое ожидание:

.

Т.к. есть коэффициент при в произведении , то есть коэффициент при в выражении

Следовательно, и

.

Задача 4.2. Вероятность попадания в мишень равна . Стрелок стреляет до первого промаха. Пусть случайная величина – число

выстрелов, произведенных стрелком. Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение. Составим закон распределения случайной величины :

,

где . Теперь

Определение 4.8. Говорят, что случайная величина , принимающая значения , имеет биномиальное распределение (распределение Бернулли), если

, (4.10)

где вероятность успеха в каждом из испытаний, число испытаний,

Задача 4.3. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по закону Бернулли.

Решение. Пусть событие

тогда

где индикатор события .

Определение 4.9. Говорят, что случайная величина , принимающая значения , имеет распределение Пуассона с параметром , если

(4.11)

Задача 4.4. Книга в 100 страниц содержит 200 опечаток. Оценить вероятность того, что страница не имеет опечаток , имеет не менее трех опечаток .

Решение:

Задача 4.5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по закону Пуассона.