Дискретные случайные величины. Пусть дискретное пространство элементарных событий, элементам которого отвечают вероятности

Пусть дискретное пространство элементарных событий, элементам которого отвечают вероятности .

Определение 4.1. Случайной величиной называется функция , определенная на множестве и принимающая вещественные значения.

Обозначим различные возможные значения случайной величины через . (Среди возможных значений , отвечающих различным , не обязательно все различны).

Введем обозначения: .

Очевидно , следовательно, это событие. Обозначим через вероятность этого события:

.

(Запись под знаком означает, что суммирование ведется по таким образом, что , при этом порядок суммирования безразличен, поскольку ).

Определение 4.2. Законом распределения случайной величины называется таблица вида:

,

где в верхней строке стоят возможные значения случайной величины , а в нижней строке под каждым значением стоит - вероятность того, что случайная величина принимает это значение .

Понятно, что

.

Определение 4.3. Если ряд сходится абсолютно, то его сумма

(4.1)

называется математическим ожиданием случайной величины .

Замечание. Если указанный ряд сходится условно или расходится, то говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания.

Теорема 4.1. Пусть ряды

и

одновременно сходятся абсолютно, тогда

(4.2)

Теорема 4.2. Пусть ­ – любая функция вещественного переменного, –случайная величина с распределением

,

тогда

(4.3)

Пример 4.1. С каждым событием свяжем случайную величину

которая называется индикатором события . Очевидно:

Найдем :

(4.4)

Определение 4.4. Две случайные величины называются независимыми, если для любых двух числовых множеств и события и независимы.

Теорема 4.3. Если случайные величины и независимы и существуют и , то существует математическое ожидание произведения и

(4.5)

Определение 4.5. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание случайной величины .

(4.6)

Из соотношения (4.6) легко получается полезная формула

(4.7)

Свойства дисперсии:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

в частности

для независимых и .