Формула полной вероятности. Формула Байеса. Условные вероятности. Независимые события

Условные вероятности. Независимые события.

Определение 3.1. Пусть . Условной вероятностью события при условии, что произошло событие (или просто: при условии ), называется отношение

.

Иногда вместо пишут .

Теорема 3.1. , иными словами, вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое наступило.

Задача 3.1. Рассмотрим в качестве примера другое решение задачи 1.2. При решении этой задачи мы считали, что наблюдению доступны номера билетов, взятых первым и вторым студентами. Тогда мы вправе взять в качестве элементарных событий множество пар - номера билетов. Можно, однако, предположить, что мы лишены возможности наблюдать номера билетов, а можем лишь определить, какие билеты попались – счастливые или нет (например, допустим, что мы наблюдаем выражение лица студента, взявшего билет).

Обозначим через события, состоящие в том, что 1-й студент взял счастливый билет, 1-й студент взял несчастливый билет, 2-й студент взял счастливый билет, 2-й студент взял несчастливый билет, тогда пространство элементарных событий состоит из четырех событий

.

Введем вероятности на множестве этих элементарных событий. (Напомним еще раз, что с логической точки зрения утверждение, приписывающее вероятности элементарным событиям, является не теоремой (которую можно доказать), а определением (которого нельзя доказать, но разумность которого должна быть мотивирована)). Воспользуемся теоремой 3.1. Если бы вероятность элементарных событий была уже введена, то должно было бы выполняться соотношение

(3.1)

С другой стороны ясно, что , поскольку первый студент выбирает один из 25 билетов, из которых 5 счастливых. Понятно, что , так как второму приходится выбирать из 24 билетов, среди которых (при условии, что первый вытащил счастливый билет) только 4 счастливых. Определим теперь так, чтобы равенство (3.1.) выполнялось:

,

аналогично

,

,

.

Теперь можем определить

,

т.е. получаем тот же результат, что и в задаче 1.2.

Замечание. Способ, примененный в задаче 1.2, позволяет аналогично подсчитать вероятность того, что 3-й (4-й и т.д.) студент получит счастливый билет. Все эти вероятности равны . Только что изложенный способ приводит к более сложным вычислениям. Таким образом, иногда лучше ввести пространство из большего числа элементарных событий, но так, чтобы эти события были равновероятными.

Определение 3.2. События и называются независимыми, если выполняется равенство

.

Смысл этого определения заключается в том, что если произошло одно из независимых событий, то это никак не влияет на вероятность другого события. Но в этом случае, если первое событие не произошло, то это также не должно влиять на вероятность второго.

Теорема 3.2. Если события и независимы, то событие и также независимы.