Пересечение конуса плоскостями различного направления. Виды линии сечения

При пересечении конической поверхности вращения плос­костью получаются различные линии – прямые, замкнутые кривые – окружности и эллипсы, незамкнутые кривые – па­раболы и гиперболы, а также точка. Вид указанных линий определяется положением секущей плоскости относительно вершины конической поверхности и соотношением между ве­личинами углов наклона секущей плоскости и образующей ко­нической поверхности к ее оси.

Если секущая плоскость P (Р_v) проходит через вершину, то пересечение плоскости с конической поверх­ностью в зависимости от угла а наклона плоскости к оси по­верхности образует:

при β < α < (180° – β) – точку,

при α = β – прямую, по которой плоскость касается кони­ческой поверхности;

при 0 ≤α < β – две прямые (образующие).

Если плоскость пересекает коническую поверхность и при этом не проходит через вершину, то в их пересечении имеют место:

при α = 90° – окружность (плоскость, перпендикулярная оси, окружность AMB (a'm'b') в пересечении с плоскостью P (P_v) – рис. 9.6, б);

при β < α <(180⁰ – β) – эллипс;

при α < β – гипербола (плоскость параллельна двум образу­ющим и пересекает коническую поверхность по обе стороны от вершины.

при α = β – парабола (плос­кость, параллельная одной из об­разующих, например парабола с вершиной К (k') в пересечении с плоскостью R (R_v) – рис. 9.6, в).