Дифракция плоской волны на круговом цилиндре

Рассмотрим задачу дифракции плоской поперечной линейно поляризованной волны на идеальном круговом проводящем бесконечном цилиндре. Введем цилиндрическую систему координат. Z совпадает с осью цилиндра. Угол j отсчитывается от направления, противоположного направлению распространения падающей первичной волны. Достаточно рассмотреть две дифракционные задачи:1задача: 2задача:

При произвольной ориентации векторов Е и Н задача может быть представлена как суперпозиция двух оговоренных задач. Рассмотрим первую задачу. В этом случае электрическое поле падающей волны

(1)

Рассматриваемая задача является двухмерной, так как составляющие поля не зависят от Z. Причем это условие распространяется и на первичное и на вторичное поле: (2) (3)

Однородное уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах можно записать так (так как не зависит от Z): (4) где ; .

Составляющие электрического поляна поверхности цилиндра должны удовлетворять нулевому граничному условию: (5) Искомое выражение напряженности вторичного электромагнитного поля должно удовлетворять условию излучения на бесконечность. Физически это означает, что в полученном решении мы должны оставить только те частные решения, у которых фазовый множитель соответствует волнам расходящимся от цилиндра. Также должны быть исключены частные решения с фазовым множителем . Решим уравнение (4) методом разделения переменных. Предполагаем, что искомая функция (6) Подставим (6) в (4). Осуществим дифференцирование и поделим все слагаемые после этого на (6): (7) Умножим все слагаемые (7) на r² и сгруппируем слева функции от r, а справа функции от j. Получим: (8)

Из (8) следует, что в этом соотношении приравниваются функции от независимых координат. Это возможно если левая и правая части равны некоторой постоянной m². Получим: (9)

Продифференцируем: (10)

В данном случае искомое выражение для Е(r,j) обладает следующим свойством: (11)

т. е. является периодичным по углу j. Очевидно этим же свойством обладает функция Ф.

(12) Решим уравнение (9) (диф-ое Ур-е 2-ого порядка): (13)

Полученное решение (13) обладает свойством (12) в том случае, когда m является постоянным числом (целым). Очевидно, что искомая функция , а стало быть и функция Ф являются четными функциями по углу j.

Таким образом в решении (13) мы должны оставить только второе слагаемое (14)

Дифференциальное уравнение (10) известного вида называется уравнением Бесселя. Известно, что это уравнение имеет следующее решение: (15) J_m(kr) — цилиндрическая функция 1-ого рода (функция Бесселя первого порядка). N_m(kr) — цилиндрическая функция 2-ого рода (функция Неймана). В данном случае решение (15) удобно записать через цилиндрические функции третьего рода (функции Ханкеля). (16)

Эти функции связаны с функциями Бесселя и Неймана: При для функции Ханкеля справедливо следующее асимптотическое представление

Таким образом следует, что в решении (16) мы должны положить, что

Из последних соотношений следует, что функция Ганкеля первого рода представляет собой цилиндрическую волну которая распространяется из бесконечности к оси Z; функция Ганкеля 2-ого рода представляет собой цилиндрическую волну которая распространяется от оси Z на бесконечность. Полученные решения должны удовлетворять условию излучения на бесконечность. Физически это условие означает, что действительными или реальными являются те, которые соответствуют волнам расходящимся от источника. В данном случае источником искомой вторичной волны является поверхность цилиндра. На основании приведенных рассуждений мы должны положить С=0. Обобщая рассмотренные решения можно отметить, что решением однородного уравнения (4) являются функции вида (17), где D_m — неизвестные пока коэффициенты амплитуды. Коэффициенты D_m могут быть найдены из граничного условия Представим искомое вторичное поле в виде бесконечной композиции решений вида (17). (18) — ряд Фурье по цилиндрическим функциям.

Воспользуемся известным из теории цилиндрических функций разложением

(19)

(19) есть фактически тоже разложение в ряд Фурье функции экспоненциальной.

Подставляем (18) и (19) в граничные условия (20)

В (20) справа и слева стоят разложения одной и той же функции в ряд Фурье по цилиндрическим функциям. Известно, что это разложение является единственно-возможным, т. е. в (20) должно также соблюдаться равенство соответствующих амплитудных коэффициентов. Приравняем соответствующие амплитудные коэффициенты и из этих равенств выразим искомые коэффициенты D_m. (21)

Подставим (21) в общее соотношение (17):

(22) — общее решение для электрического поля рассеиваемой волны представленное в виде разложения по цилиндрическим функциям.

Окончательное решение выглядит следующим образом: (23). Ряд в (22) является абсолютно сходящимся и дифференцируемым в каждой точке. Поэтому выражение для магнитной составляющей легко может быть получено из 2-ого уравнения Максвелла с использование (22)

Найденное решение в форме (22) является симметричным по углу j, с периодом по j равным 2p. Найденное решение удовлетворяет условию излучения на бесконечность. Попытаемся изобразить графически решение (22) для некоторых значений радиуса (а) цилиндра для r>>a, r>>l (т. е. в дальней зоне): Из приведенных рисунков следует, что в результате дифракции на цилиндре плоской волны появляется вторичное поле с четко выраженным максимумом при j=180⁰. Полученное решение (22) в принципе применимо для любого радиуса цилиндра. Однако при больших значениях сходимость ряда в соотношении (22) ухудшается. В этом случае, хотя и можно использовать (22), целесообразно получить новые соотношения, которые следуют из (22) путем асимптотического перехода.

Изложенный строгий (точный) метод решения дифракционной задачи называют методом Фурье. Точное решение возможно в том случае, если поверхность тела может быть описана в известных системах координат (декартова, цилиндрическая, сферическая, коническая...). Если же тело не может быть описано в известных системах координат, то при решении однородного дифференциального уравнения метод разделения переменных оказывается неприменимым, что исключает возможность применения метода Фурье. Если поверхность тела не совпадает ни с одной из координатных поверхностей, то строгими методами задача дифракции не решается. В этом случае прибегают к приближенным решениям.