рівняння другого порядку

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталимо коефіцієнтами називається рівняння вигляду:

. (28.18)

Зауважимо, що дане рівняння не містить аргумент у явному вигляді, отже, воно припускає зниження порядку завдяки введенню нової змінної. Однак розглянемо інший підхід, який доцільно буде застосовувати і при розв’язанні неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку.

Будемо шукати частинний розв’язок рівняння (28.18) у вигляді показникової функції:

.

Знаходимо похідні від цієї функції:

та

І підставляємо їх у рівняння:

.

Маючи на увазі, що , після спрощення маємо рівняння:

. (28.19)

Це рівняння відносно називається характеристичним рівнянням даного однорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Зауважимо, що для того, щоб одержати характеристичне рівняння, достатньо похідні , та функцію замінити на відповідні степені величини , розглядаючи при цьому функцію як похідну нульового порядку.

Розв’язавши характеристичне рівняння, знайдемо значення :

. (28.20)

Розглянемо різні випадки розв’язків характеристичного рівняння, від яких залежить вигляд частинного розв’язку:

1. Корені рівняння дійсні та різні. Якщо характеристичне рівняння має додатний дискримінант, тобто , то . У цьому випадку та є лінійно незалежними розв’язками рівняння, оскільки їх відношення не є сталою величиною. Тоді відповідно теоремі 28.3 загальний розв'зок рівняння матиме вигляд:

. (28.21)

Знайдемо загальний розв’язок диференціального рівняння:

.

Це рівняння другого порядку за сталими коефіцієнтами. Складемо для нього характеристичне рівняння: . Корені цього рівняння є дійсними і різними: . Отже, їм відповідають два частинних розв’язки та , які є лінійно незалежними. Відповідно, маємо загальний розв’язок рівняння у вигляді:

.

2. Корені характеристичного рівняння дійсні та рівні. Якщо дискримінант характеристичного рівняння дорівнює нулю, тобто , то рівняння має дійсні і рівнікорені . У цьому випадку – частинний розв’язок рівняння. Другий частинний розв'зок, який є лінійно незалежним від першого, можна знайти у вигляді . Це легко перевірити підстановкою в рівняння (28.18). Тоді відповідно теоремі 28.3 загальний розв'зок рівняння буде:

. (28.22)

Знайдемо загальний розв’язок рівняння . Для цього спочатку запишемо його характеристичне рівняння: . Його корені дійсні і рівні: . Отже, це рівняння має два частинних лінійно незалежних розв’язки: та . Відповідно, загальний розв’язок рівняння має вигляд:

.

3. Характеристичне рівняння не має дійсних коренів. Якщо , то характеристичне рівняння має комплексно-спряжені корені:

; ,

де – уявна одиниця, для якої ;

– дійсна частина комплексного числа;

– уявна частина комплексного числа.

Відповідно,

; .

Можна довести, що у цьому випадку диференціальне рівняння має два дійсні частинні розв’язки, яки є лінійно незалежними:

; .

Тоді відповідно теоремі 28.3 загальний розв'язок рівняння має вигляд:

. (28.23)

Знайдемо загальний розв’язок рівняння

.

Запишемо відповідне характеристичне рівняння: . Воно має комплексно-спряжені корені: . Тобто ; . Цим кореням відповідають два частинні розв’язки:

, та .

Загальний розв’язок рівняння має вигляд:

.

Ключові терміни

Диференціальне рівняння другого порядку; загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку; частинний розв’язок; геометричне тлумачення початкових умов; рівняння, що припускає зниження порядку; лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами: лінійно залежні розв'язки; лінійно незалежні розв'язки; характеристичне рівняння; комплексно-спряжені корені; уявна одиниця.

Питання для самоперевірки

1. Які диференціальні рівняння другого порядку допускають зниження порядку?

2. Як розв’язати рівняння ?

3. Як розв’язати рівняння ?

4. Як розв’язати рівняння ?

5. Що називається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку?

6. Яке рівняння називається однорідним?

7. Які функції називаються лінійно незалежними?

8. Який вигляд має лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами?

9. Як складають характеристичне рівняння для даного диференціального?

10. Які частинні розв'язки має однорідне рівняння, якщо

а) корені характеристичного рівняння дійсні і різні;

б) корені характеристичного рівняння дійсні і рівні;

в) корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені.

11. Як записати загальний розв'язок однорідного рівняння, якщо

а) корені характеристичного рівняння дійсні і різні;

б) корені характеристичного рівняння дійсні і рівні;

в) корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені.

12. Які начальні умови задаються для диференціального рівняння другого порядку?