Диференціальні рівняння другого порядку

Глава 28.

28.1. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку

На відміну від диференціальних рівнянь першого порядку рівняння другого порядку мають у своєму складі похідну другого порядку. Рівняння вигляду

(28.1)

називається диференціальним рівнянням другого порядку. Рівняння (28.1) надане у неявному вигляді.

Якщо рівняння розв'язане відносно похідної , то воно має вигляд:

. (28.2)

На відміну від загального розв’язку диференціального рівняння першого порядку, що представляє собою функцію від аргументу та сталою , загальним розв’язком диференціального рівняння другого порядку називають функцію:

, (28.3)

яка залежить від аргументу та двох довільних незалежних сталих та . Якщо визначити функцію у явному вигляді неможливо, то розв’язок, який отримують у цьому випадку, називають загальним інтегралом диференціального рівняння:

. (28.4)

Частинний розв’язок знаходять із загального розв'язку при будь-яких значеннях довільних сталих.

Якщо до рівняння задаються початкові умови, то частинний розв'зок можна знайти відповідно до цих умов. Оскільки загальний розв’язок диференціального рівняння містить дві сталі, то і початкових умов повинно бути дві. Одна з яких визначає значення функції у певній точці, друга – її похідну у цій точці:

(28.5)

Задача Коші для диференціального рівняння другого порядку полягає у тому, щоб знайти частинний розв'язок диференціального рівняння (28.1 – 28.2), який задовольняє початковим умовам (28.5). Отже, для розв'язання задачі Коші треба спочатку знайти загальний розв'язок у вигляді (28.3) або (28.4), а потім визначити сталі та , виходячи із початкових умов (28.5).

Геометричне тлумачення початкових умов для диференціального рівняння другого порядку полягає в тому, що крім точки , через яку проходить інтегральна крива, ми задаємо кутовий коефіцієнт дотичної до цієї кривої в точці . Оскільки загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку залежить від двох довільних сталих, через дану точку проходить безліч інтегральних кривих, та лише одна з них має заданий кутовий коефіцієнт.

При визначенні частинного розв’язку значення довільних сталих та одержують із системи рівнянь:

(28.6)

Диференціальні рівняння другого порядку поділяють на рівняння, що припускають зниження порядку, відповідно, їх розв’язання зводиться до розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку, і рівняння, порядок яких неможна знизити, тому вони вимагають застосування спеціальних методів для їх розв’язання.

Розглянемо найпростіші випадки диференціальних рівнянь другого порядку, що припускають зниження порядку.

Диференціальне рівняння другого порядку обов’язково повинно містити похідну другого порядку, оскільки саме вона визначає порядок даного рівняння, а присутність інших елементів – функція, її перша похідна, аргумент – не є обов’язковими. Якщо у диференціальному рівнянні який-небудь з цих елементів відсутній, то рівняння є таким, що припускає зниження порядку. Спосіб, за допомогою якого здійснюється зниження порядку рівняння, залежить від того, який саме елемент у цьому рівнянні відсутній.

1. Диференціальне рівняння, що описує другу похідну як функцію від аргументу . Рівняння, що має вигляд

, (28.7)

тобто рівняння, права частина якого залежить лише від незалежної змінної , є найпростішим рівнянням, що припускає зниження порядку.

Оскільки , то рівняння (28.7) можна розглядати як рівняння першого порядку відносно похідної . Це рівняння зі змінними, що відокремлюються:

.

Проінтегрувавши ліву та праву частини останнього рівняння, одержимо:

, (28.8)

де – довільна стала інтегрування.

Проінтегрувавши вираз (28.8) ще раз, отримаємо загальний розв’язок вихідного рівняння:

. (28.9)

Таким чином, рівняння (28.7) ми розв’язали шляхом послідовного інтегрування двох рівнянь першого порядку. Кількість довільних сталих дорівнює порядку диференціального рівняння.

Отже, диференціальне рівняння другого порядку має безліч розв’язків. Як відмічено вище, щоб знайти частинний розв’язок, необхідно мати початкові умови, за якими визначаються довільні сталі та .

Знайдемо розв’язок рівняння . Оскільки , тобто , то проінтегрувавши обидві частини цього рівняння, ми отримаємо:

.

Таким чином, . Проінтегрувавши обидві частини одержаного виразу, ми отримаємо загальний розв’язок вихідного рівняння:

.

Розглянемо задачу Коші.Знайти частинний розв'язок рівняння , що задовольняє початковим умовам , .

Спочатку шукаємо загальний розв'язок рівняння . Для цього треба послідовно проінтегрувати дане рівняння. Отже, після першого інтегрування отримуємо:

.

Звідси визначаємо диференціал функції і проінтегрувавши ще раз, маємо загальний розв’язок рівняння:

.

Тепер треба знайти і , враховуючи початкові умови.

За умовою і , тоді:

Таким чином, маємо частинний розв'язок

, або .

Зауважимо, що шляхом послідовного інтегрування можна визначити розв’язок не тільки диференціального рівняння другого порядку, але і диференціального рівняння довільного порядку, якщо воно задано у вигляді:

.