![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рівняння, що припускає зниження порядку, є рівнянням вигляду:
. (28.10)
У цьому випадку рівняння може бути розв’язане як рівняння першого порядку за допомогою підстановки:
,
. (28.11)
Внаслідок застосування підстановки (28.11) рівняння (28.10) набуває вигляду:
, (28.12)
тобто ми отримуємо рівняння першого порядку відносно нової функції .
Нехай необхідно розв’язати рівняння:
.
Оскільки рівняння не містить невідомої функції , для його розв’язання використаємо підстановку
та
. Одержимо лінійне диференціальне рівняння першого порядку:
.
Зробимо підстановку: :
.
Перейдемо до системи рівнянь:
З першого рівняння системи отримуємо:
.
Проінтегрувавши ліву та праву частини останнього співвідношення знаходимо: . Відносно невідомої функції
маємо диференціальне рівняння:
, тобто
.
Звідси функція дорівнює:
.
Відповідно, маємо функцію :
.
Оскільки , звідси:
.
Проінтегрувавши обидві частини останнього рівняння, отримаємо загальний розв’язок вихідного рівняння:
.
Знайдемо загальний розв'язок рівняння
.
Маємо рівняння вигляду (28.10), тому застосовуємо заміну , звідки
. Внаслідок цього дане рівняння набуває вигляду:
, отже, ми отримали рівняння з відокремлюваними змінними:
.
Візьмемо інтеграл від обох частин:
.
Звідки
.
Враховуючи, що , маємо:
, отже,
.
Інтегруємо обидві частини останньої рівності й отримуємо:
.
Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом, тому спочатку треба виділити цілу частину, для чого поділимо чисельник на знаменник.
Інтеграл приймає вигляд:
Таким чином, отримуємо загальний розв’язок:
.
3. Рівняння, яке не містить аргументу у явному вигляді. Це рівняння вигляду:
. (28.13)
Оскільки рівняння не містить в собі незалежної змінної , то першу похідну від функції можна вважати функцією від аргументу
. Тоді отримуємо диференціальне рівняння першого порядку відносно цієї нової функції. Отже, застосовується підстановка:
(28.14)
Підставляючи невідому функцію та її похідну
у початкове рівняння (28.13), отримаємо диференціальне рівняння першого порядку відносно
, як функції від
:
. (28.15)
Розв’язати рівняння
.
Оскільки рівняння не містить аргументу у явному вигляді, то позначимо
. Тоді
. Підставивши ці вирази у початкове рівняння, одержимо:
, тобто диференціальне рівняння із відокремлюваними змінними. Відокремивши змінні, отримаємо:
.
Звідси:
,
або
.
Повернемось до вихідних змінних:
.
Зінтегрувавши обидві частини одержаного рівняння, отримаємо загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння:
28.2. Однорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку
із сталими коефіцієнтами.
Лінійним однорідним диференціальним рівнянням -го порядку із сталими коефіцієнтами називається рівняння вигляду
, (28.16)
де – дійсні числа.
Частинним випадком є рівняння другого порядку:
, (28.17)
де коефіцієнти p та q – сталі.
Розглянемо властивості розв'язків рівняння (28.17) і зупинимось на різних випадках знаходження його розв'язків.
Теорема 28.1. Якщо є розв'зком рівняння
, то і
, де
– довільна стала, теж буде розв'язком цього рівняння.
Доведення. Оскільки є розв'зком рівняння, то звідси маємо:
.
Тепер підставимо у рівняння (28.17) функцію . Одержимо:
,
а це і означає, що також є розв'язком рівняння (28.17).
Теорема 28.2. Якщо є розв'язками рівняння
, то їх сума теж є розв'язком цього рівняння.
Доведення. Підставимо вираз у вихідне рівняння і проведено групування:
.
Тобто сума також є розв'язком рівняння.
Два розв'язки, та
, називаються лінійно залежними на множині
, якщо їх відношення дорівнює сталому числу:
,
. У протилежному випадку розв'язки
і
називаються лінійно незалежними:
,
.
Теорема 28.3. Якщо та
– лінійно незалежні розв'язки рівняння
, то
є загальний розв'язок цього рівняння.
Доведення. Згідно з теоремами 28.1 та 28.2функція є розв'язком рівняння (28.17) і цей розв'язок залежить від двох довільних сталих
, отже, це і є загальний розв’язок рівняння (28.17).
Теорема 28.4. Якщо розв'язки рівняння та
лінійно залежні, то розв'язок
не буде загальним розв'язком рівняння (28.17).
Доведення. Дійсно, якщо , то
.
Розв'язок є частинним розв'язком рівняння, тому що залежить лише від однієї довільної сталої
. Таким чином, із теореми 28.3можна зробити висновок: щоб знайти загальний розв'язок рівняння (28.17), треба знайти два його лінійно незалежних розв'язки
та
і тоді їх лінійна комбінація
буде загальним розв'язком цього рівняння.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 329 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!