Диференціальне рівняння другого порядку, що не містить невідомої функції

Рівняння, що припускає зниження порядку, є рівнянням вигляду:

. (28.10)

У цьому випадку рівняння може бути розв’язане як рівняння першого порядку за допомогою підстановки:

, . (28.11)

Внаслідок застосування підстановки (28.11) рівняння (28.10) набуває вигляду:

, (28.12)

тобто ми отримуємо рівняння першого порядку відносно нової функції .

Нехай необхідно розв’язати рівняння: .

Оскільки рівняння не містить невідомої функції , для його розв’язання використаємо підстановку та . Одержимо лінійне диференціальне рівняння першого порядку:

.

Зробимо підстановку: :

.

Перейдемо до системи рівнянь:

З першого рівняння системи отримуємо:

.

Проінтегрувавши ліву та праву частини останнього співвідношення знаходимо: . Відносно невідомої функції маємо диференціальне рівняння:

, тобто .

Звідси функція дорівнює: .

Відповідно, маємо функцію :

.

Оскільки , звідси:

.

Проінтегрувавши обидві частини останнього рівняння, отримаємо загальний розв’язок вихідного рівняння:

.

Знайдемо загальний розв'язок рівняння .

Маємо рівняння вигляду (28.10), тому застосовуємо заміну , звідки . Внаслідок цього дане рівняння набуває вигляду: , отже, ми отримали рівняння з відокремлюваними змінними:

.

Візьмемо інтеграл від обох частин:

.

Звідки

.

Враховуючи, що , маємо:

, отже, .

Інтегруємо обидві частини останньої рівності й отримуємо:

.

Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом, тому спочатку треба виділити цілу частину, для чого поділимо чисельник на знаменник.

Інтеграл приймає вигляд:

Таким чином, отримуємо загальний розв’язок:

.

3. Рівняння, яке не містить аргументу у явному вигляді. Це рівняння вигляду:

. (28.13)

Оскільки рівняння не містить в собі незалежної змінної , то першу похідну від функції можна вважати функцією від аргументу . Тоді отримуємо диференціальне рівняння першого порядку відносно цієї нової функції. Отже, застосовується підстановка:

(28.14)

Підставляючи невідому функцію та її похідну у початкове рівняння (28.13), отримаємо диференціальне рівняння першого порядку відносно , як функції від :

. (28.15)

Розв’язати рівняння

.

Оскільки рівняння не містить аргументу у явному вигляді, то позначимо . Тоді . Підставивши ці вирази у початкове рівняння, одержимо: , тобто диференціальне рівняння із відокремлюваними змінними. Відокремивши змінні, отримаємо:

.

Звідси:

,

або

.

Повернемось до вихідних змінних:

.

Зінтегрувавши обидві частини одержаного рівняння, отримаємо загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння:

28.2. Однорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку

із сталими коефіцієнтами.

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням -го порядку із сталими коефіцієнтами називається рівняння вигляду

, (28.16)

де – дійсні числа.

Частинним випадком є рівняння другого порядку:

, (28.17)

де коефіцієнти p та q – сталі.

Розглянемо властивості розв'язків рівняння (28.17) і зупинимось на різних випадках знаходження його розв'язків.

Теорема 28.1. Якщо є розв'зком рівняння , то і , де – довільна стала, теж буде розв'язком цього рівняння.

Доведення. Оскільки є розв'зком рівняння, то звідси маємо:

.

Тепер підставимо у рівняння (28.17) функцію . Одержимо:

,

а це і означає, що також є розв'язком рівняння (28.17).

Теорема 28.2. Якщо є розв'язками рівняння , то їх сума теж є розв'язком цього рівняння.

Доведення. Підставимо вираз у вихідне рівняння і проведено групування:

.

Тобто сума також є розв'язком рівняння.

Два розв'язки, та , називаються лінійно залежними на множині , якщо їх відношення дорівнює сталому числу: , . У протилежному випадку розв'язки і називаються лінійно незалежними: , .

Теорема 28.3. Якщо та – лінійно незалежні розв'язки рівняння , то є загальний розв'язок цього рівняння.

Доведення. Згідно з теоремами 28.1 та 28.2функція є розв'язком рівняння (28.17) і цей розв'язок залежить від двох довільних сталих , отже, це і є загальний розв’язок рівняння (28.17).

Теорема 28.4. Якщо розв'язки рівняння та лінійно залежні, то розв'язок не буде загальним розв'язком рівняння (28.17).

Доведення. Дійсно, якщо , то

.

Розв'язок є частинним розв'язком рівняння, тому що залежить лише від однієї довільної сталої . Таким чином, із теореми 28.3можна зробити висновок: щоб знайти загальний розв'язок рівняння (28.17), треба знайти два його лінійно незалежних розв'язки та і тоді їх лінійна комбінація буде загальним розв'язком цього рівняння.