Фильтры

Итак, когда мы знаем, как выполнять преобразование Хаара, попробуем разобраться с тем, что же оно нам даёт.

Полученные «полусуммы» (из-за того, что делим не на 2, приходится использовать кавычки) — это, как мы уже выяснили, средние значения в парах пикселей. То есть, фактически, значения полусумм — это уменьшенная копия исходного изображения! Уменьшенная потому, что полусумм в два раза меньше, чем исходных пикселей.

Но что такое разности?

Полусуммы усредняют значения яркостей, то есть «отфильтровывают» случайные всплески значений. Можно считать, что это некоторый частотный фильтр.

Аналогично, разности «выделяют» среди значений межпиксельные «всплески» и устраняют константную составляющую. То есть, они «отфильтровывают» низкие частоты.

Таким образом, преобразование Хаара — это пара фильтров, разделяющих сигнал на низкочастотную и высокочастотную составляющие. Чтобы получить исходный сигнал, нужно просто снова объединить эти составляющие.

Что нам это даёт? Пусть у нас есть фотография-портрет. Низкочастотная составляющая несёт в себе информацию об общей форме лица, о плавных перепадах яркости. Высокочастотная — это шум и мелкие детали.

Обычно, когда мы смотрим на портрет, нас больше интересует низкочастотная составляющая, а значит при сжатии часть высокочастотных данных можно отбросить. Тем более, что, как мы выяснили, она обычно имеет меньшие значения, а значит более компактно кодируется.

Степень сжатия можно увеличить, применяя преобразование Хаара многократно. В самом деле, высокочастотная составляющая — это всего лишь половина от всего набора чисел. Но что мешает применить нашу процедуру ещё раз к низкочастотным данным? После повторного применения, высокачастотная информация будет занимать уже 75%.

Хоть мы пока и говорили об одномерных цепочках чисел, этот подход хорошо применим и для двумерных данных. Чтобы выполнить двумерное преобразование Хаара (или аналогичное ему), нужно лишь выполнить его для каждой строки и для каждого столбца.

После многократного применения к, например, фотографии замка Лихтенштейн, получим следующий рисунок.

Черные области соответствуют низкой яркости, то есть значениям, близким к нулю. Как показывает практика, если значение достаточно мало, то его можно округлить или вообще обнулить без особого ущерба для декодированного рисунка.

Этот процесс называется квантованием. И именно на этом этапе происходит потеря части информации. (К слову, такой же подход используется в JPEG, только там вместо преобразования Хаара используется дискретное косинус-преобразование.) Меняя число обнуляемых коэффициентов, можно регулировать степень сжатия!

Конечно, если обнулить слишком много, то искажения станут видны на глаз. Во всём нужна мера!

После всех этих действий у нас останется матрица, содержащая много нулей. Её можно записать построчно в файл и сжать каким-то архиватором. Например, тем же 7Z. Результат будет неплох.

Декодирование производится в обратном порядке: распаковывем архив, применяем обратное преобразование Хаара и записываем декодированную картинку в файл. Вуаля!

Где эффективно преобразование Хаара?

Когда преобразование Хаара будет давать наилучший результат? Очевидно, когда мы получим много нулей, то есть, когда изображение содержит длинные участки одинаковых значений яркости. Тогда все разности обнулятся. Это может быть, например, рентгеновский снимок, отсканированный документ.

Говорят, что преобразование Хаара устраняет константную составляющую (она же — момент нулевого порядка), то есть переводит константы в нули.

Но всё же в реальных фотографиях областей с одинаковой яркостью не так много. Попробуем усоврешенствовать преобразование, чтобы оно обнуляло ещё и линейную составляющую. Иными словами, если значения яркости будут увеличивать линейно, то они тоже обнулятся.

Эту задачу и более сложные (устранение моментов более высоких порядков) решила Ингрид Добеши — один из создателей теории вейвлетов.