![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для
называется величина
, средней – величина
. Буква
- сокращение от слова
(предельный), буква
- сокращение от слова
(средний). Предельная величина
является мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый абсолютный прирост
при изменении
на единицу.
Эластичностью функции в точке
называется предел
. Эластичность
, также как и
, является мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый процентный прирост
при изменении
на один процент. Находят эластичность
функции
по формуле
5.146 Зависимость между издержками производства и объёмом выпускаемой предприятием продукции
задаётся функцией
. Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции
, если;
а) ,
; б)
,
.
5.147. Зависимость между издержками производства и объёмом выпускаемой предприятием продукции
задаётся функцией
. При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?
5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :
а) ; б)
;
в) ; г)
.
5.149. Зависимости спроса и предложения
на продукцию предприятия от цены
за единицу продукции задаются функциями
и
. Найти эластичности спроса
и предложения
при равновесной цене
, т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:
а) ,
; б)
,
;
в) ,
; г)
,
.
§4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора и её применение.
Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке
, дифференцируема на интервале
и
, то на
существует точка
такая, что
.
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
, то на
существует точка
такая, что
(формула Лагранжа).
Теорема Коши. Если функции и
непрерывны на отрезке
, дифференцируемы на интервале
и
при всех
, то на интервале
существует точка
такая, что
(формула Коши).
5.150 Проверить, выполняется ли теорема Ролля для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений :
а) на отрезке
; б)
на отрезке
; в)
на отрезке [0,
]; г)
на отрезке
.
5.151 Функция обращается в нуль при
и
, но тем не менее
для всех
. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.
5.152 Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений :
а) на отрезке [1, 3]; б)
на отрезке
; в)
на отрезке [0,1]; г)
на отрезке
.
5.153 Объяснить почему не может быть применена теорема Лагранжа для функции на отрезках:
а) ; б)
.
5.154 Проверить, выполняется ли теорема Коши для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений :
а) и
на отрезке
;
б) и
на отрезке
.
Если функция имеет производные всех порядков до
-го включительно в некоторой окрестности точки
и кроме того имеет производную
-го порядка
в самой точке
, то при
имеет место формула Тейлора (порядка
) с остаточным членом в форме Пеано
.
Если предположить существование -ой производной
в окрестности точки
то для любой точки
из этой окрестности имеет место формула Тейлора (порядка
) с остаточным членом в форме Лагранжа
где
,
.
Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае обычно называется формулой Маклорена.
Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.
Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжаследует, что , где
-минимальный из номеров
для которых
.
При вычислении пределов функций используют формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
5.155 Разложить многочлен по степеням двучлена
5.156 Разложить многочлен по степеням двучлена
5.157 Разложить многочлен по степеням двучлена
5.158 Разложить функцию по степеням
.
5.159 Для многочлена написать формулу Тейлора 2-го порядка в точке
. Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение
, соответствующее следующим значениям аргумента: а)
; б)
; в)
.
В задачах 5.160-5.164 написать формулы Маклорена -го порядка (без остаточного члена) для следующих функций.
5.160 . 5.161
. 5.162
.
5.163 . 5.164
.
5.165 Написать разложения по степеням до членов указанного порядка включительно следующих функций:
а) до члена с
; б)
до члена с
;
в) до члена с
.
5.166. Написать разложения по степеням до членов указанного порядка включительно следующих функций:
а) до члена с
;
;
б) до члена с
;
.
5.167. Оценить абсолютную погрешность приближённых формул: а) при
; б)
при
;
в) при
.
В задачах 5.168-5.169 используя разложения функций по формуле Маклорена вычислить следующие пределы:
5.168 . 5.169.
.
5.170 Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0.001, приближенные значения следующих чисел:
а) sin 1; б) ; в)
г).
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 365 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!