![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Комплексным числом называется число вида , где
,
-действительные числа, символ
- мнимая единица, для которой
. Число
- называется действительной частью комплексного числа
, число
- мнимой частью. Множество всех комплексных чисел обозначается
.
Комплексное число изображается на плоскости с системой координат
(называемой комплексной плоскостью) точкой, обозначаемой той же буквой
и имеющей координаты
.
Комплексное число на комплексной плоскости изображается также радиус-вектором точки . Длина радиус-вектора называется модулем комплексного числа:
, а угол его
с осью
называется аргументом комплексного числа:
,
.
Аргумент комплексного числа вычисляют, как правило, по формуле:
.
Комплексно-сопряжённым числу называется число
.
Представление комплексного числа выражением называется алгебраической формой комплексного числа, выражением
- тригонометрической формой ивыражением
- его показательной формой.
Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий над многочленами, с учётом того, что :
;
.
Деление комплексных чисел выполняют по формуле: .
Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме выполняют по формулам:
;
.
Умножение и деление комплексных чисел в показательной форме выполняют по формулам: ;
.
Возведение комплексного числа в натуральную степень
выполняют, используя формулу Муавра:
.
Извлечение корня -ой степени из комплексного числа
(не равного нулю) выполняют по формуле:
,
(здесь - действительное положительное число). Корень степени
из комплексного числа имеет
различных значений, расположенных на комплексной плоскости на окружности радиуса
.
Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида:
, где
,
- некоторые числа (вообще говоря, комплексные), называемые коэффициентами многочлена, причём
.
Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида
Число
, для которого
называется корнем многочлена или уравнения.
Теорема Безу. Число является корнем многочлена
тогда и только тогда, когда
делится на
, т.е. когда
представляется в виде:
, где
- многочлен степени
.
Число называется корнем кратности
многочлена
, если
, где
.
Для многочленов имеет место следующая теорема:
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры).Всякий многочлен ненулевой степени имеет ровно
корней, если каждый корень считать ровно столько раз, какова его кратность.
Всякий многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение линейных и квадратичных (с действительными коэффициентами) множителей.
Всякий квадратный многочлен с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел всегда можно разложить в произведение только линейных множителей:
, где корни
и
многочлена находятся по формулам:
1) если , то
- действительные;
2) если , то
- комплексно-сопряжённые.
4.275. Изобразить на комплексной плоскости числа:
а)
;
б)
В задачах 4.276- 4.279 выполнить указанные действия, представив результат в алгебраической форме:
4.276 а) ; б)
; в)
.
4.277 а) ; б)
; в)
.
4.278
а) ; б)
; в)
.
4.279
а) ; б)
; в)
.
В задачах 4.280- 4.283 представить в тригонометрической форме комплексные числа, заданные в алгебраической форме:
4.280 а) ; б)
; в)
.
4.281 а) ; б)
; в)
.
4.282 а) ; б)
; в)
.
4.283
а) ; б)
; в)
.
4.284 Вычислить:
а) ;
б)
В задачах 4.285-4.286 представить в показательной форме следующие комплексные числа:
4.285 а) ; б)
; в)
.
4.286 а) ; б)
; в)
4.287 Данные числа представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
а) ;
б)
В задачах 4.288-4.289 используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
4.288 а) ; б)
; в)
.
4.289 а) ; б)
; в)
.
4.290 Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.
В задачах 4.291-4.293 найти все значения корней:
4.291 а) ; б)
; в)
.
4.292 а) ; б)
; в)
.
4.293 а) ; б)
; в)
.
В задачах 4.294-4.296 найти все корни следующих алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел:
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 572 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!