![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.
Функция. Основные понятия.
Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной. Функцией называется правило, по которому каждому числу
ставится в соответствие одно вполне определённое число
, и пишут
. Множество
называется областью определения функции,
- множеством ( или областью) значений функции,
- аргументом,
- значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции
называется множество
значений аргумента
, для которого данная формула имеет смысл. Графиком функции
,
в прямоугольной системе координат
, называется множество всех точек плоскости с координатами
,
.
Функция называется чётной на множестве
, симметричном относительно точки
, если для всех
выполняется условие:
и нечётной, если выполняется условие
. В противном случае
- функция общего вида или ни чётная, ни нечётная.
Функция называется периодической на множестве
, если существует число
(период функции), такое, что для всех
выполняется условие:
. Наименьшее число
называется основным периодом.
Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве
, если большему значению аргумента
соответствует большее (меньшее) значение функции
.
Функция называется ограниченной на множестве
, если существует число
, такое, что для всех
выполняется условие:
. В противном случае функция - неограниченная.
Обратной к функции ,
,
называется такая функция
, которая определена на множестве
и каждому
ставит в соответствие такое
, что
. Для нахождения функции
, обратной к функции
, нужно решить уравнение
относительно
. Если функция
,
является строго монотонной на
, то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Функция , представляемая в виде
, где
,
- некоторые функции такие, что область определения функции
содержит всё множество значений функции
, называется сложной функцией независимого аргумента
. Переменную
называют при этом промежуточным аргументом. Сложную функцию
называют также композицией функций
и
, и пишут:
.
4.1 В треугольнике сторона
см, сторона
см и угол
Выразить
и площадь
как функции переменной
4.2 Найти выражение для площади равнобочной трапеции с основаниями
и
как функции угла
при основании
4.3 В шар радиуса R вписан цилиндр. Написать выражение для объема V цилиндра от его высоты Н. Найти область определения этой функции.
4.4 В шар радиуса R вписан прямой круговой конус. Написать выражение для площади боковой поверхности S конуса: а) от его образующей l; б) от угла при вершине конуса в его осевом сечении; в) от угла
при основании конуса. Найти области определения каждой из полученных функций.
4.5 Определить функцию удовлетворяющую заданному условию: а)
;
б) ; в)
В задачах 4.6-4.12 найти область определения функций:
4.6 а) ; б)
;
в) ; г)
.
4.7 а) ; б)
;
в) ; г)
.
А);б).
А); б).
А); б).
4.11 а) ; б)
.
4.12 а) ; б)
.
В задачах 4.13-4.21, выяснить какие из указанных функций четные, какие нечетные, а какие ни четные, ни нечетные.
4.13 . 4.14
. 4.15
4.16 . 4.17
.
4.18 . 4.19
.
4.20. 4.21.
В задачах 4.22-4.30 выяснить, какие из функций являются периодическими, и определить их наименьший период Т:
4.22 4.23
4.24
4.25 4.26
4.27 4.28
4.29 4.30
В задачах 4.31-4.34 доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:
4.31 4.32
.
4.33 4.34
.
В задачах 4.35-4.38 доказать, что следующие функции являются монотонно убывающими в указанных промежутках:
4.35 4.36
4.37 . 4.38
.
В задачах 4.39-4.46 найти обратную функцию и её область определения:
4.39 4.40
4.41
4.42
4.43 4.44
, а)
; б)
если: а) б).
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 144 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!