![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если каждому натуральному числу по некоторому правилу
поставлено в соответствие одно вполне определённое действительное число
, то говорят, что задана числовая последовательность
. Кратко обозначают
. Число
называется общим членом последовательности. Последовательность называют также функцией натурального аргумента. Последовательность всегда содержит бесконечно много элементов, среди которых могут быть равные.
Число называется пределом последовательности
, и пишут
, если для любого числа
найдётся номер
такой, что при всех
выполняется неравенство
.
Последовательность , имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Последовательность называется бесконечно малой, если
. Последовательность
называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечности) и пишут
, если для любого числа
найдётся номер
такой, что при всех
выполняется неравенство
.
Число называется пределом функции
при
(или в точке
), и пишут
, если для любого числа
найдётся число
такое, что при всех
, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
.
Число называется пределом функции
при
, и пишут
, если для любого числа
найдётся число
такое, что при всех
, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
.
Рассматривают также односторонние пределы функций: ,
,
,
, где
стремится к
,
,
или только с левой стороны или только с правой стороны.
Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем
- или число
или символ
):
1) Если - постоянная величина, то
.
2) Если существуют конечные пределы ,
, то:
а) ; б)
;
в)
; г)
, если
.
При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точки
из её области определения справедливо соотношение
.
Функция называется бесконечно большой при
, если
. Функция
называется бесконечно малой при
, если
.
Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :
1) Если , то
,если
, то
2) Если и
, то
.
3) Если и
, то
.
4) Если и
, то
.
5) Если и
, то
.
6) Если и
, то
.
Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.
В задачах 4.85-4.88, используя определение предела, доказать, что и найти номер
такой, что
для всех
:
4.85,.
4.86,.
4.87,.
4.88,.
В задачах 4.89-4.111 найти пределы последовательностей:
4.89 4.90
4.91
4.92 . 4.93
. 4.94
.
4.95 . 4.96
.
4.97 . 4.98
.
4.99 . 4.100
.
4.101 . 4.102
. 4.103
.
4.104 . 4.105
.
4.106 . 4.107
.
4.108 .
4.109 . 4.110
.
4.111 .
В задачах 4.112-4.113 пользуясь только определением предела функции доказать, что и заполнить таблицу:
![]() | 0.1 | 0.01 | 0.001 |
![]() |
А); б).
А); б).
В задачах 4.114-4.132 вычислить пределы рациональных выражений:
4.114 . 4.115
.
4.116 . 4.117
.
4.118 . 4.119
4.120 4.121
4.122 . 4.123
.
4.124 4.125
4.126 4.127
.
4.128 . 4.129
.
4.130 . 4.131
.
4.132 .
В задачах 4.133-4.149 вычислить пределы иррациональных выражений:
4.133 . 4.134
4.135 4.136
.
4.137 . 4.138
.
4.139 . 4.140
.
4.141 . 4.142
.
4.143 . 4.144
.
4.145 . 4.146
. 4.147
. 4.148
.
4.149 .
Первым замечательным пределом называется предел: . Следствиями из него являются пределы:
,
,
.
В задачах 4.150-4.170, используя 1-ый замечательный предел, вычислить пределы:
4.150 4.151
. 4.152
. 4.153
. 4.154
. 4.155
.
4.156 . 4.157
.
4.158 . 4.159
.
4.160 . 4.161
4.162 . 4.163
.
4.164 . 4.165
.
4.166. . 4.167.
.
4.168 . 4.169
.
4.170 .
Вторым замечательным пределом называются пределы:
,
где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции
, где
и
.
При нахождении пределов следует иметь в виду:
1) Если ,
, то
.
2) Если ,
, то
вычисляют, учитывая, что:
,
.
4.171 Доказать пределы:
а) ; б)
; в)
В задачах 4.172-4.174 вычислить пределы:
4.172 . 4.173
. 4.174
.
В задачах 4.175-4.204, используя 2-oй замечательный предел, а также результаты задачи 4.171, вычислить пределы:
4.175 . 4.176
.
4.177 . 4.178
.
4.179 . 4.180
.
4.181 . 4.182
.
4.183 . 4.184
.
4.185 . 4.186
.
4.187 . 4.188
.
4.189. 4.190.
4.191 . 4.192
4.193 . 4.194
.
4.195 . 4.196
.
4.197 . 4.198
.
4.199 . 4.200
.
4.201 . 4.202
.
4.203 . 4.204
.
Бесконечно малые функции и
при
называются эквивалентными, и пишут
~
, если
.
Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведения
одну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если
~
,
~
при
, то:
;
Основные эквивалентности при ![]() | |||
![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
В задачах 4.205-4.222 вычислить пределы с помощью принципа замены эквивалентных бесконечно малых функций:
4.205. . 4.206
.
4.207 . 4.208
.
4.209 . 4.210
.
4.211 . 4.212
.
4.213 . 4.214
.
4.215 . 4.216
.
4.217 . 4.218
.
4.219 . 4.220
.
4.221 . 4.222
.
4.223 Доказать, что при
а) б)
в)
г) д)
.
Если ,
,
и при этом существует действительное число
такое, что
, то
называется бесконечно малой функцией порядка
относительно
.
В задачах 4.224-4.235 определить порядок малости от-носительно
4.224 4.225
4.226 4.227
4.228 4.229
4.230 4.231
4.232 4.233
4.234 4.235
Если ,
,
или
и при этом существует действительное число
такое, что
, (
), то
называется бесконечно большой функцией порядка
относительно
.
В задачах 4.236-4.241 определить порядок роста бесконечно большой функции относительно
при
:
4.236 4.237
4.238 4.239
4.240 4.241
В задачах 4.242-4.247 найти односторонние пределы:
4.242 . 4.243
.
4.244 . 4.245
.
4.246 . 4.247
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 224 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!