Сходящиеся последовательности, их свойства

Определение 1. Последовательность называется сходящейся к числу а, если последовательность является бесконечно малой. При этом число а называют пределом последовательности и пишут или при .

Из определения 1 следует, что любая бесконечно малая последовательность сходится к нулю, так как = , то есть . В частности, и, в силу свойств бесконечно малых последовательностей, для любых и .

Определение 2. Последовательность называется сходящейся к числу а, если для любого найдется номер N, такой, что для всех значений .

Из определения 2 получаем, что предел любой постоянной величины А равен этой постоянной величине, то есть , так как для любого для всех значений .

Определение 3. Последовательность называется сходящейся к числу а, если в любой -окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Определение 4. Число а называется пределом последовательности , если для любого найдется номер N, такой, что для всех значений .

Нетрудно заметить, что определения 1-4 равносильны.

Замечание. Из определения 1 следует, что если последовательность сходится к а, то , где – бесконечно малая последовательность, отсюда . Верно и обратное, т.е. если последовательность можно представить в виде суммы постоянной а и бесконечно малой последовательности, то последовательность сходится к числу а. Действительно, по определению 1.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела: с и d. Тогда и , где и – бесконечно малые последовательности (см. замечание выше). Отсюда . Поскольку – бесконечно малая последовательность, по теореме 5 § 4 . Теорема доказана.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. По определению 1 последовательность бесконечно малая, по теореме 4 § 4 она ограничена, то есть существует число M > 0, такое, что одновременно ограничена и снизу и сверху, поэтому ограничена. Теорема доказана.

Теорема 3. Сумма (разность) сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, причем

.

Доказательство. Пусть . Тогда (см. замечание в начале параграфаи свойства бесконечно малых последовательностей). Теорема доказана.

Теорема 4. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, причем

.

Доказательство. Имеем , , так как – бесконечно малая последовательность (см. замечание и свойства бесконечно малых последовательностей). Теорема доказана.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть .

Это очевидно, так как .

Теорема 5. Частное двух сходящихся последовательностей и , таких, что , определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, причем

.

Для доказательства теоремы 5 нам потребуется вспомогательное утверждение.

Лемма. Если последовательность сходится к числу , то последовательность ограничена , где N – некоторое натуральное число.

Доказательство. Положим . По определению предела для него найдется номер N, такой, что для всех выполняется неравенство , т.е. . Поскольку , то для всех , т.е. и существует при , а также для всех . Лемма доказана.

Доказательство теоремы 5. Пусть . Тогда , . Рассмотрим = = . В последнем выражении первый множитель – бесконечно малая последовательность, второй и третий – ограниченная для всех последовательность. Поэтому – бесконечно малая последовательность, а так как , то . Теорема доказана.

Рассмотрим теперь свойства сходящихся последовательностей, связанных знаком неравенства.

Теорема 6. Пусть и – две сходящиеся последовательности, имеющие одинаковый предел а. Если, хотя бы начиная с некоторого номера, выполнено неравенство

, (5.1)

то последовательность – сходящаяся, причем .

Доказательство. Пусть , неравенство выполняется, начиная с номера . Возьмем произвольно. Для него существуют и ,такие, что

, (5.2)

. (5.3)

Положим . Тогда одновременно выполнены все неравенства (5.1) – (5.3), значит,

,

то есть , следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 6 часто называется «теоремой о сжатой переменной», или «теоремой о промежуточной переменной», или «теоремой о двух милиционерах». Мы ею часто будем пользоваться в дальнейшем.

Теорема 7. Если все члены двух сходящихся последовательностей и , по крайней мере, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и пределы этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству, то есть .

Доказательство. Пусть , . Надо доказать, что . Предположим противное, т.е. что , и возьмем . Тогда и . По определению предела последовательности для этого найдутся и такие, что

, откуда для всех ,

, откуда для всех .

Обозначим . Тогда для всех эти неравенства выполняются одновременно и, следовательно, , т.е. , что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы. Теорема доказана.

Следствие. Если, начиная с некоторого номера, то и ().

Это очевидно, так как вместо одной из последовательностей можно рассмотреть постоянную последовательность .

Заметим, что если , то (). Например, для всех n, однако .

Теорема 8. Если (), то, начиная с некоторого номера, .

Действительно, если (), то, взяв окрестность точки а, не содержащую точку А, по определению 3 получим, что, начиная с некоторого номера, все члены последовательности попадут в эту окрестность, т.е. будут больше А (будут меньше А).