Множество R действительных чисел и его свойства

Глава 1. Введение в математический анализ

Литература

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, ч. I.

2. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа, т. I.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. I.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. I.

5. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.

Множество R действительных чисел и его свойства

Из школьного курса математики известны множества натуральные числа N = {1;2;…; n;…}, целых чисел , рациональных чисел . Известно также, что этих чисел недостаточно для измерения отрезков. Например, рассмотрим прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны 1, т.е. . Тогда по теореме Пифагора . Покажем, что

длина с гипотенузы не может быть рациональным числом. Предположим, напротив, что с – рациональное число, т.е. , ас причем дробь несократима. Тогда , откуда b . Поскольку – четное число, то и – четное число, а тогда и т – четное число, так как квадрат нечетного числа всегда число нечетное. Пусть т =2 k. Тогда , т.е. и n – четное число и потому дробь сократима на 2, что противоречит предположению. Таким образом, нет рационального числа, квадрат которого равен 2, т.е. длину гипотенузы рассматриваемого треугольника нельзя измерить с помощью рациональных чисел. Множество рациональных чисел нужно пополнить числами другого вида. В школе такими числами были бесконечные непериодические десятичные дроби. Сейчас мы подойдем к введению новых чисел по-другому, более строго с математической точки зрения.

Рассмотрим теорию Дедекинда (1831-1916, немецкий математик) новых чисел, которые будем называть иррациональными.

Разобьем множество Q рациональных чисел на два непустых множества А и так, что:

1) каждое рациональное число в одно и только в одно из множеств А или ;

2) каждое число меньше каждого числа .

Разбиение Q, удовлетворяющее указанным двум условиям, называется сечением в множестве рациональных чисел. Множество А называется нижним классом сечения, множество – верхним классом сечения. Обозначать сечение будем через .

Примеры.

1) Определим А как множество всех рациональных чисел а, удовлетворяющих неравенству , а к множеству отнесем все числа , для которых .

Ясно, что таким образом получим сечение множества рациональных чисел, причем число 1 принадлежит классу и является в нем наименьшим числом. В классе А наибольшего числа нет, так как какое бы число ни взять, между ним и 1 есть еще рациональное число, которое больше а (например, ).

2) К нижнему классу А отнесем все рациональные числа а, удовлетворяющие неравенству , к верхнему классу – рациональные числа такие, что .

Получим сечение, причем в верхнем классе нет наименьшего числа, а в нижнем классе есть наибольшее число 1.

3) Отнесем к классу А все положительные рациональные числа а, для которых , число нуль и все отрицательные рациональные числа, а к классу – все положительные рациональные числа , для которых .

Очевидно, что полученное разбиение является сечением. Докажем, что в классе А нет наибольшего числа. Пусть а – любое положительное число класса А, т.е. . Покажем, что можно подобрать такое натуральное число n, что , так что и число .

Неравенство равносильно неравенствам . Последнее неравенство тем более будет выполнено, если n удовлетворяет неравенству , т.е. , для чего достаточно взять .

Итак, какое бы положительное число ни взять, в классе А найдется большее его число, т.е. в классе А нет наибольшего числа.

Аналогично доказывается, что в классе нет наименьшего числа (доказать дома самим студентам).

Ясно также, что не может существовать сечение, у которого одновременно в нижнем классе есть наибольшее число , а в верхнем классе – наименьшее число .

Действительно, предположим, напротив, что такое сечение существует. Положим . Ясно, что с – рациональное число, причем . Число с не может принадлежать классу А, так как , по предположению, наибольшее число в этом классе, и не может принадлежать классу , так как – наименьшее число в этом классе, т.е. с не принадлежит ни А, ни . А это противоречит первому свойству сечения. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Таким образом, сечения могут быть только трех видов, иллюстрируемых примерами 1), 2), 3):

1) в нижнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем классе есть наименьшее число r;

2) в нижнем классе А есть наибольшее число r, а в верхнем классе нет наименьшего числа;

3) ни в нижнем классе нет наибольшего числа, ни в верхнем классе нет наименьшего числа.

В первых двух случаях говорят, что сечение производится рациональным числом r (которое является пограничным между классами А и ) или что сечение определяет рациональное число r. В примерах 1) и 2) таким числом была 1. В третьем случае пограничного числа не существует, сечение не определяет никакого рационального числа. В этом случае говорят, что сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное число . Мы как бы вставляем его между всеми числами а класса А и всеми числами класса вместо недостающего пограничного числа. В примере 3), как легко видеть, .

Заметим, что рациональное число r может определяться сечениями двух видов 1) и 2). Для определенности обычно считают, что рациональное число r определяет сечение, у которого r принадлежит верхнему классу .

Рациональные и иррациональные числа получили общее название действительных (или вещественных) чисел. Множество действительных чисел обозначают буквой R.

Рассмотрим теперь некоторые свойства множества R действительных чисел.

Определение 1. Два действительных числа и , определяемых соответственно сечениями и , считаются равными тогда и только тогда, когда эти сечения тождественны, т.е. .

Определение 2. Пусть и – действительные числа, определяемые сечениями и . Говорят, что , если класс А целиком содержит в себе класс В, не совпадая с ним (т.е. ). Говорят, что , если .

Лемма 1. Для любых двух действительных чисел и имеет место одно и только одно из соотношений .

Доказательство. Пусть и определяются соответственно сечениями и . Ясно, что для множеств А и В имеет место одно и только одно из соотношений: 1) ; 2) 3) . Из этих соотношений и определений 1 и 2 вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.

Доказанное в лемме 1 свойство множества R действительных чисел называется его упорядоченностью по величине.

С помощью определения 2 легко доказать, что:

1) если , ;

2) если , (доказать дома студентам самим).

Лемма 2. Каковы бы ни были два различных действительных числа и , всегда найдется такое действительное (и даже, в частности, рациональное) число r, которое содержится между ними.

Доказательство. Пусть и определяются сечениями и соответственно и для определенности . Тогда и, значит, в А найдется рациональное число r, не принадлежащее В, т.е. . Поэтому (равенство возможно, если – рациональное). Но так как в А нет наибольшего числа, то в случае необходимости r можно увеличить, чтобы равенство исключить, т.е. получить неравенство . Лемма доказана.

Определение 3. Упорядоченное множество называется плотным, если между любыми его элементами лежит третий элемент этого множества.

Из леммы 2 и определения 3 следует, что множество R действительных чисел – плотное. Более того, доказано, что между любыми двумя действительными числами лежит рациональное число. Это свойство множества R называется усиленной плотностью множества действительных чисел.

Замечание. С помощью леммы 2 легко показать, что между любыми двумя различными действительными числами лежит бесконечно много действительных и, в частности, рациональных, чисел.

Рассмотрим еще одно свойство множества R действительных чисел, которое существенно отличает его от множества Q рациональных чисел. Рассматривая сечения в множестве рациональных чисел, мы видели, что иной раз для такого сечения не находилось пограничного рационального числа, которое производит это сечение (сечение третьего вида). Именно эта неполнота множества рациональных чисел, наличие в нем этих пробелов и послужили основанием для введения новых чисел – иррациональных. Спрашивается, а как будет обстоять дело, если производить сечение множества действительных чисел? Будут ли такие же «дыры», как в случае сечения множества рациональных чисел, или нет?

Для ответа на эти вопросы рассмотрим сечение множества R действительных чисел, т.е. такое разбиение R на два непустых класса и , что:

1) каждое действительное число попадает в одно и только одно из множеств и ;

2) каждое число меньше каждого числа .

Имеет место

Теорема Дедекинда. Для всякого сечения в множестве действительных чисел существует действительное число , которое производит это сечение. Это число будет: 1) либо наибольшим в нижнем классе ; 2) либо наименьшим в верхнем классе .

Доказательство. Обозначим через А множество всех рациональных чисел из множества , через – множество всех рациональных чисел, принадлежащих множеству . Очевидно, что множества А и образуют сечение в множестве рациональных чисел. Это сечение определяет некоторое действительное число . Оно должно попасть в один из классов или . Рассмотрим случай, когда . Докажем, что тогда является наибольшим в числом, т.е. имеет место утверждение 1) теоремы. Предположим противное, т.е. что существует действительное число , такое, что . Тогда по лемме 2 существует рациональное число r: , принадлежащее , а значит и А. Но рациональное число, принадлежащее нижнему классу сечения, определяющего действительное число , не может быть больше . Получили противоречие, из которого следует, что – наибольшее число в .

Аналогично доказывается, что если попадет в верхний класс , то имеет место утверждение 2) теоремы (доказать это утверждение дома самим студентам). Теорема доказана.

Таким образом, из теоремы Дедекинда следует, что в случае сечения множества R действительных чисел нет «дыр», имевших место для сечения множества Q рациональных чисел. Всегда есть пограничное действительное число, производящее данное сечение множества R. Это свойство множества R действительных чисел называется его полнотой или непрерывностью.