Абсолютная величина числа

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа (обозначается ) называется неотрицательное число, удовлетворяющее условиям:

Ясно, что всегда

. (3.1)

Свойства абсолютных величин:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Доказательство. 1) Если , то в силу (3.1). Если , то . Первое свойство доказано.

2) Имеем , отсюда . Второе свойство доказано.

3) , третье свойство доказано.

Четвертое свойство доказывается так же, как свойство 3).

Замечание. Свойство 1) распространяется на любое число слагаемых, свойство 3) – на любое число сомножителей.

Отметим также, что , т.е. х удовлетворяет неравенству тогда и только тогда, когда принадлежит интервалу .

Геометрический смысл модуля действительного числа состоит в том, что равен расстоянию от точки х на числовой прямой до нуля.