Вычисление конечных сумм

Краткое теоретическое введение.

Задача вычисления конечных сумм сводятся к нахождению суммы некоторого количества слагаемых s=Σ a_n(x) при различных значениях параметра суммирования х. Каждое слагаемое суммы зависит от параметра х и номера п, определяющего место этого слагаемого в сумме.

Обычно формула общего члена суммы принадлежит к одному из следующих трех типов:

а)

б)

в)

В случае а) для вычисления члена суммы целесообразно исполь­зовать рекуррентные соотношения, т. е. выражать последующий член суммы через предыдущий. Это позволит существенно сократить объем вычислительной работы. Кроме того, вычисление члена суммы по общей формуле в ряде случаев невозможно (например, из-за наличия п!).

В случае б) применение рекуррентных соотношений нецелесооб­разно. Вычисления будут наиболее эффективными, если каждый член суммы вычислять по общей формуле.

В случае в) член суммы целесообразно представить в виде двух сомножителей, один из которых вычисляется по рекуррентному соотношению, а другой — непосредственно. Например:

то полагаем c_n = x ^{4 n +1} и вычисляем c_n= c_n-1 х ⁴, а - непосредственно.

Алгоритм решения задач суммирования при значениях параметра суммирования, изменяющегося в некотором диапазоне с заданным шагом, сводится к двум вложенным циклам. Внутренний цикл сум­мирует слагаемые при фиксированном параметре х, а внешний орга­низует изменение параметра х. Для всех вариантов, вычисляемая сумма является частичной суммой некоторого функционального ряда, поэтому наряду с вычислением суммы необходимо вычислять (для сравнения) и функцию y = f (x) (сумму функционального ряда).

Диапазон изменения аргумента х задан в виде а х b. Для каждого варианта вычисление суммы проводится для следующих значении аргумента х = а, a+h, …, a+9h, b, где h=(b-a)/10

Пример 9.4.1. (случай б)