Формула Даламбера для бесконечной струны

Начнём анализ со случая неограниченной струны. Уравнение её свободных колебаний

(2.38)

определенное на интервале , следует дополнить начальными условиями

(2.39)

преобразуем уравнение к канонической форме.

, то есть дискриминант равен: , следовательно, уравнение имеет гиперболический тип. Уравнения характеристик принимают вид

(2.40)

то есть характеристики являются прямыми

(2.41)

Переходя к новым переменным

(2.42)

получаем уравнение в канонической форме

(2.43)

Его решение легко находится. Переписывая уравнение в виде

получаем, что под знаком производной стоит функция, не зависящая от переменной , то есть

Интегрируя это уравнение по и учитывая, что ``постоянная'' интегрирования в действительности может быть функцией переменной , получаем общее решение или общий интеграл уравнения (2.43) в виде

(2.44)

Возвращаясь к переменным , записываем общее решение уравнения (2.38)

(2.45)

Подставим начальные условия

Интегрируя второе уравнение, получаем систему для функций , :

			(2.46)

откуда находим:

			(2.47)

Подставляя эти функции в общее решение (2.45), окончательно получаем

(2.48)

Это выражение называется формулой Даламбера.

Функция , определяемая формулой (2.45), описывает процесс распространения начального возмущения струны - начального смещения и начальной скорости. Фиксируя момент времени , получаем функцию , описывающую профиль струны в момент . С другой стороны, фиксируя координату , получаем функцию , описывающую процесс движения в точке .

Метод Фурье. Задача Штурма-Луивилля.