Векторное поле

Векторный анализ. В механике, физике и геометрии широко используются понятия скалярного и векторного поля. Температура неравномерно нагретой пластинки, плотность неоднородного тела представляют собой физические примеры соответственно плоского и пространственного скалярного поля. Векторное поле образует множество всех векторов скоростей частиц установившегося потока жидкости. Примерами векторных полей могут служить также поле силы тяжести, магнитное и электрическое напряжение электромагнитного поля.

Для математического задания скалярных и векторных полей используются соответственно скалярные и векторные функции. Ясно, что плотность тела представляет собой скалярную функцию точки, а поле скоростей частиц установившегося потока жидкости — векторную функцию точки. Математический аппарат теории поля обычно называют векторным анализом. Для геометрической характеристики скалярного поля используются понятия линий и поверхностей уровня. Линией уровня плоского скалярного поля называется линия, на которой функция, задающая поле, имеет постоянное значение. Аналогично определяется поверхность уровня пространственного поля

Обратимся к поверхности (линии) уровня скалярного поля, проходящей через данную точку М. При смещении по нормали к этой поверхности (линии) в точке М наблюдается максимальное изменение в этой точке функции f задающей поле. Это изменение характеризуется с помощью градиента скалярного поля. Градиент представляет собой вектор, направленный по нормали к поверхности (линии) уровня в точке М в сторону возрастания f этой точке. Величина градиента равна производной f указанном направлении. Обозначается градиент символом grad f. В базисе i, j k градиент grad f имеет координаты

Градиент скалярного поля представляет собой векторное поле.

Для характеристики векторных полей вводится целый ряд понятий: векторной линии, векторной трубки, циркуляции векторного поля, дивергенции и вихря (ротора) векторного поля. Пусть в некоторой области W задано векторное поле посредством векторной функции а (М) переменной точки М из W. Линия L в области W называется векторной линией, если вектор касательной в каждой её точке М направлен по вектору а (М) (рис. 8). Если поле а (М) — поле скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторные линии этого поля — траектории частиц жидкости. Часть пространства в W, состоящая из векторных линий, называется векторной трубкой (рис. 9).

Пусть АВ — некоторая гладкая линия в W, l — длина дуги АВ, отсчитываемая от точки А до переменной точки М этой линии, t — единичный вектор касательной к АВ в М. Циркуляцией поля а (М) вдоль кривой АВ называется выражение

Если b (M) — силовое поле, то циркуляция а вдоль АВ представляет собой работу этого поля вдоль пути АВ.

Дивергенция векторного поля а (М), имеющего в базисе i, j, k координаты Р, Q, R, определяется как сумма

и обозначается символом div а. Например, дивергенция гравитация поля, создаваемого некоторым распределением масс, равна плотности (объёмной) r (х, у, z) этого поля, умноженной на 4p.

Вихрь (или ротор) векторного поля а (М) представляет собой векторную характеристику «вращательной составляющей» этого поля. Вихрь поля а обозначается rot а. Если Р, Q, R — координаты а в базисе i, j, k, то

В векторном анализе важную роль играют интегральные соотношения: Остроградского формула, именуемая также основной формулой векторного анализа, и Стокса формула. Пусть V — область, граница Г которой состоит из конечного числа кусков гладких поверхностей, n — единичный вектор внешней нормали к Г. Пусть в области V задано такое векторное поле а (М), что div а представляет собой непрерывную функцию. Тогда справедливо соотношение

называемое формулой Остроградского.

Если a — поле скоростей установившегося потока несжимаемой жидкости, то (a, n) ds — объём жидкости, протекающей в единицу времени через площадку ds на границе Г. Поэтому правая часть формулы (1) представляет собой поток жидкости через границу Г тела V в единицу времени.

Так как в рассматриваемом случае div а характеризует интенсивность источников жидкости, то формула Остроградского выражает следующий наглядный факт: поток жидкости через замкнутую поверхность Г равен количеству жидкости, порождаемой всеми источниками, расположенными внутри Г.

Пусть в области W задано непрерывное и дифференцируемое векторное поле а, имеющее непрерывный вихрь rot а. Пусть Г — ориентируемая поверхность, состоящая из конечного числа кусков гладких поверхностей, n — единичный вектор нормали к Г, t — единичный вектор касательной к краю g поверхности Г, l — длина дуги g. Справедливо следующее соотношение

называемое формулой Стокса. Формула (2) выражает следующий физический факт: поток вихря векторного поля а через поверхность Г равен циркуляции этого поля вдоль кривой g.