Определение координат центра тяжести плоских и пространственных фигур

При решении задач обычно пользуются методом Разбиения. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны либо легко находятся. Например, изображённую деталь можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1 и S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны: рис1

Координаты центра тяжести объемного тела постоянной плотности находятся по формулам:

XC=∑xiVi∑ViYC=∑yiVi∑ViZC=∑ziVi∑Vi
где xi yi zi – координаты центров тяжести элементарных частей, Vi – объем i-й части.

Если тело представляет собой однородную пластину постоянной толщины, то координаты ее центра тяжести:
XC=∑xiSi∑SiYC=∑yiSi∑Si
где Si – площадь i-го элемента.

Для стержневых конструкций, образованных стержнями одинаковой плотности и постоянного поперечного сечения, координаты центра тяжести определяются по формулам:
XC=∑xili∑liYC=∑yili∑li
где li – длина элемента линии.

Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:

1. Аналитический (путем интегрирования).

2. Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3. Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1 и S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны:

Рисунок 1.8

5. Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Рисунок 1.9

Центры тяжести простейших фигур

1 Треугольник

Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок а).

DM = MB, CM = (1/3)AM.

2 Дуга окружности

Дуга имеет ось симметрии (рисунок б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. yC = 0.

dl – элемент дуги, dl = Rdφ, R – радиус окружности, x = Rcosφ, L = 2αR,

Следовательно: xC = R(sinα/α).

3 Круговой сектор

Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox, на которой находится центр тяжести (рисунок в).

Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R.

Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB: