Способы расчленения статически неопределимых задач

В строительной механике различают следующие три основных классиче­ских метода расчета статически неопределимых систем: метод сил, метод перемещений иметод конечных элементов.

При расчете по методу сил основными искомыми величи­нами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.

При расчете по методу перемещений основными искомы­ми величинами являются перемещения узловых точек, вызванные деформацией системы. Знание этих перемещений необходимо и достаточно для определения всех внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов, заданной системы.

При расчете по методу конечных элементов система разбивается на простые конечные элементы и по матрице жесткости элемента и системы в целом устанавливается связь между перемещениями узлов элемента и системы и усилиями в них.

Кроме указанной классификации, методы расчета статически неопределимых систем можно расчленить по степени их точности, по области работы материала сооружений, по особенностям расчетных операций и т.д.

По степени точности различают точные и приближенные методы расчета.

Точные методы базируются на обычных основных допущениях, принятых при расчете достаточно жестких сооружений (закон Гука, расчет по деформированной схеме, принцип сложения действия сил). Приближенные методы расчета, кроме обычных упрощений, используют дополнительные допущения, что обусловливает заметное отклонение от результатов точных методов расчета.

По области работы материала различают расчет сооружений в упругой стадии и расчет сооружений за пределом упругости. По особенностям расчетных операций методы расчета можно разделить на вычислительные и экспериментальные.

Расчёт сооружений на прочность, жёсткость и устойчивость требует определения реакций опорных связей и внутренних усилий в характерных сечениях их элементов. В статически неопределимых системах эту задачу, привлекая только условия равновесия, решить невозможно. Это было показано в сопротивлении материалов, где для расчёта отдельных статически неопределимых стержней, работающих на растяжение–сжатие, кручение, изгиб, использовалась группа соотношений, включающая в себя уравнения равновесия, геометрические и физические уравнения.

Статически неопределимой называют такую систему, ко­торая не может быть рассчитана по методу сечений с использова­нием лишь одних условий равновесия, так как она обладает лиш­ними связями. В качестве лишних следует принимать те связи, которые необходимо отбросить из состава заданной, чтобы превра­тить ее в статически определимую и геометрически неизменяемую систему.

Главной особенностью статически неопределимых систем является наличие лишних связей в их структуре. Лишние связи сооружений можно удалять, не нарушая их геометрической неизменяемости. Например, удалением опорных вертикальных связей В и С неразрезная балка преобразуется в консольный стержень, введением цилиндрических шарниров K и L – в статически определимую двухпролётную составную балку (рис. 6.1,а). Удалив из статически неопределимой фермы стержень 14 или 34, получим два варианта статически определимой шарнирно-стержневой системы с простой структурой (рис. 6.1,б). Статически неопределимая двухшарнирная рама после удаления горизонтальной связи опоры В превращается в ломаный стержень, прикреплённый к диску "земля" шарниром А и вертикальной связью, ось которой не проходит через шарнир А. Введением цилиндрического шарнира С эта же рама преобразуется в статически определимую трёхшарнирную раму (рис. 6.1,в).

Рис.6.1

Особенностью всех лишних связей, удалённых из статически неопределимых систем, показанных слева на рис. 6.1, является то, что реакции в них от внешних воздействий с помощью уравнений статики определить нельзя. Эти связи называются условно необходимыми. Вместе с тем, в составе рассмотренных сооружений имеются связи, усилия в которых определяются из условий равновесия: горизонтальная связь опоры А неразрывной балки (рис. 6.1,а), стержни А_2,23, А₁, А₃ фермы (рис. 6.1,б), вертикальные связи пятовых шарниров А и В рамы (рис. 6.1,в). Такие связи называются абсолютно необходимыми. Их удаление превращает заданное сооружение в геометрически изменяющую или мгновенно изменяемую систему.

Следует различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы.

Внешне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет только лишние внешние связи, т.е. лишние опорные за­крепления. Примером внешне статически неопределимой плоской системы являетсятрехпролетная рама (рис.6.2).

Рис.6.2

Степень статической неопределимости системы С легко установить путем вычита­ния из общего числа опорных стержней m число стержней, необходимых для сохране­ния геометрически неизменяемого при­крепления системы (одно - для одномерных; три - для плоских и шесть - для пространственных систем).

Для плоской рамы, изображенной на рис.6.2, учитывая, что защемление эквивалентно трем опорным стержням, получаем:

m = 3 + 2×2 +1 = 8; C = m - 3 = 8-3 = 5,

т.е. данная система 5 раз статически неопределима.

Внутренне статически неопределимой называют сис­тему, обладающую лишними связями, введенными для взаимного соединения частей системы.

Двухопорная рама с затяжкой (рис.6.3, а) внутренне один раз статически неопределимой. Статически определимая система (рис.6.3, б) получена из заданной (рис.6.3, а) путем разрезания за­тяжки ab. И при этом взаимодействие частей затяжки заменяется только одной неизвестной осевой силой N ₁ . Следовательно, в ста­тически определимой системе, изображенной на рис.6.3, б имеем одно лишнее неизвестное N ₁ , которое невозможно определить при помощи метода сечений. Поэтому заданная система (рис.6.3, а) яв­ляется один раз статически неопределимой.

Если затяжку жестко заделать в стойки, как это показано на рис.6.4, а, то получим трижды статически неопределимую систему.

Действительно, в данном случае после разрезания нижнего ригеля ab, взаимодействие частей ac и bc характеризуется уже тремя неизвестными усилиями N ₁, Q ₁, M ₁ (рис.6.4, б), которые нельзя определить из условия равновесия. Поэтому система, изображенная на рис.6.4, a является три раза внутренне статически неопредели­мой.

Рис.6.3 Рис.6.4

Отсюда можно сделать вывод, что в плоских системах, замк­нутый бесшарнирный контур имеет три лишние связи. Следова­тельно, если плоская система содержит n замкнутых контуров, то она, очевидно, будет 3× n раз статически неопределима.

Отметим следующие основные свойства статически неопреде­лимых систем.

1. Статически неопределимая система ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически опре­делимой системой оказывается более жесткой, а при идентичном характере нагружениязначения усилий получаются меньшими. Следовательно, и более экономичными.

2. Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе. То есть статически неопределимые сооружения обладают большей надёжностью по сравнению со статически определимыми.

3. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.

4. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.

5. В статически неопределимых системах от температурных и кинематических воздействий реакции условно необходимых внешних и внутренних связей не равны нулю. Покажем это на примере определения реакций опорных связей двухшарнирной рамы с пятовыми шарнирами на разных уровнях (рис. 6.5). Пусть температура со стороны внутренних волокон элементов рамы изменилась на , а горизонтальная и вертикальная связи левой шарнирно-неподвижной опоры сместились соответственно на и . Условия равновесия рамы имеют вид:

, H_B – H_A = 0,

, V_A – V_B = 0,

, H_B × a + V_B × ℓ = 0.

Рис.6.5

Полученная система трёх уравнений, содержащая четыре неизвестных, в общем случае имеет ненулевые решения. От реакций шарнирно-неподвижных опор в сечениях рамы возникнут изгибающие моменты, поперечные и продольные силы. Таким образом, в отличие от статически определимых систем в статически неопределимых системах от температурных и кинематических воздействий имеют место не только перемещения, но и деформации, вызывающие внутренние усилия.

Теория расчета статически неопределимых систем играет особую роль в формировании профессиональных представлений инженера-строителя о работе реальных сооружений – ведь подавляющее большинство современных несущих строительных конструкций принципиально следует рассматривать именно как системы статически неопределимые. Строго говоря, в природе вообще не существует статически определимых систем, есть лишь некоторые статически определимые (после введения гипотез и предпосылок) задачи определения конкретных силовых факторов. Рекомендуется осознать это обстоятельство – с ним, в частности, могут быть связаны дополнительные возможности регулирования состояния конструкций.

Понимание того, что происходит с конструкциями в процессе их деформирования при разнообразных воздействиях, позволяет обоснованно подходить к оценке их состояния, надежности и экономичности, целенаправленно вмешиваться в их работу, то есть осуществлять регулирование и управление поведением конструкций – при этом в ряде случаев удается полезно использовать такие эффекты и свойства, которые традиционно считаются неблагоприятными. Ярким примером может служить отношение к факту чувствительности статически неопределимых систем к кинематическим воздействиям (смещениям связей), в том числе к осадкам опор. Известно, что, в отличие от систем статически определимых, где смещения связей (равно как и изменения температуры) не вызывают возникновения интегральных внутренних силовых факторов – изгибающих и крутящих моментов, продольных и поперечных сил и др. (перемещения и температурные деформации при этом, конечно, возникают, но они развиваются как свободные, нестесненные), в системах с лишними связями усилия от упомянутых видов воздействий отличны от нуля. Если это воздействия природного или техногенного происхождения, неподвластные нам в процессе эксплуатации сооружения, то они, как правило, выступают в качестве неблагоприятных факторов, «отнимая» у конструкций некоторую (иногда значительную) часть их несущей способности, что приводит к увеличению расхода материала.

Но это же свойство статически неопределимых систем можно заставить служить на пользу делу – если, задавая контролируемые смещения внешних или внутренних связей либо искусственно создавая начальные температурные поля в процессе сборки и монтажа конструкций, «подправлять» усилия и напряжения, делая их распределение более равномерным и, следовательно, более выгодным с точки зрения материалоемкости.

Другой отличительной особенностью статически неопределимых систем, имеющей важное практическое значение, является зависимость значений силовых факторов в разных сечениях конструкции от соотношений и (при температурных и кинематических воздействиях) числовых значений жесткостей элементов системы при разных видах их деформаций (растяжении или сжатии, изгибе, сдвиге, кручении). Инженер, выполняющий расчет конструкции или оценивающий состояние находящегося в эксплуатации сооружения, должен ясно представлять, какие именно составляющие деформации существенно влияют на напряженно-деформированное состояние системы, а какими можно пренебречь с допустимой погрешностью. Например, априори понятно, что на распределении усилий в комбинированных системах (шпренгельных балках, рамах и арках с затяжками, вантовых конструкциях и т.п.) ощутимо сказываются продольные деформации очень гибких стержней, работающих на чистое растяжение без изгиба; в конст-рукциях с тонкостенными элементами и в ряде других случаев значительным может быть влияние сдвига и т.д. Но лишь выполнив решение некоторых типовых задач, можно убедиться раз и навсегда в том, что влияние этих факторов настолько велико, что пренебрежение ими может радикально исказить картину усилий и перемещений в системе.