Степень статической неопределимости

Разность между числом неизвестных, необходимых для расчёта заданного сооружения, и числом независимых уравнений равновесия, составленных для решения задачи, называется степенью статической неопределимости сооружения. Другими словами, эта разность определяет количество лишних связей в заданной расчётной схеме сооружения, усилия в которых требуется определить, не прибегая к уравнениям равновесия.

Степень статической неопределимости можно вычислить, преобразуя заданную статически неопределимую систему в статически определимую и параллельно подсчитывая число удалённых связей. Такой подход является наиболее общим, но часто у читателей вызывает определённые трудности. Поэтому в плоских стержневых системах на начальном этапе изучения этой и последующих тем степень статической неопределимости рекомендуется определять по формуле "контуров".

Любой замкнутый плоский стержневой контур содержит три лишних связи, т.е. трижды статически неопределим. В этом можно убедиться, рассматривая определение внутренних усилий в сечении "с" рамы, представляющей собой вместе с диском "земля" замкнутый контур (рис. 6.6,а). Любая отсечённая часть этой рамы имеет шесть неизвестных: рис. 6.6,б – внутренние усилия в сечении "с" M_c, Q_c, N_c и реакции заделки V_A, H_A, M_A; рис. 6.6, в – внутренние усилия в сечениях "с" и "е" M_c, Q_c, N_c, M_е, Q_е, N_е. Равновесие рассматриваемых выше отсечённых частей описывается тремя уравнениями. Таким образом, разность между числом неизвестных, необходимых для описания напряжённо-деформированного состояния рамы, и числом уравнений равновесия равно трём.

Рис.6.6

Если сооружение состоит из К не накладывающихся друг на друга контуров, то общее число лишних связей в нём равно 3К.

Рис.6.7

Наличие в одноконтурном сооружении одного простого цилиндрического или поступательного шарнира снижает степень статической неопределимости такого сооружения на единицу, так как любая отсечённая часть контура, включающая в себя сечение, расположенное на бесконечно близком расстоянии от шарнира, будет содержать теперь пять, а не шесть, неизвестных (рис. 6.7). Напомним читателям, что простой цилиндрический или поступательный шарнир связывает только два диска. Если шарнир соединяет n дисков, то он эквивалентен n–1 простому шарниру.

В общем случае, если К контуров имеют Н простых цилиндрических или поступательных шарниров, то степень статической неопределимости сооружения равна

n_st = 3K – H.

Число контуров и простых шарниров зависит от способа представления расчётной схемы сооружения. На рис. 6.8,а,б показано изображение расчётной схемы одной и той же рамы с различным количеством контуров и простых шарниров. Естественно, что степень статической неопределимости рамы не зависит от способа изображения её расчётной схемы. Действительно:

n_st = 3 × 3 – 3 = 6 (рис. 6.8,а),

n_st = 3 × 5 – 9 = 6 (рис. 6.8,б).

Рис.6.8 Рис.6.9

Пример 6.1. Используя формулу "контуров", вычислить степень статической неопределимости плоских стержневых систем, изображённых на рис. 6.9.

На рис. 6.9,а,б цифрами, объединёнными кружками, пронумерованы замкнутые контуры. Рядом с цилиндрическими шарнирами цифрами помечено количество простых шарниров.

n_st = 3 × 3 – 8 = 1 (рис. 6.9,а),

n_st = 3 × 9 – 24 = 3 (рис. 6.9,б).