Второе достаточное условие существования точки перегиба

Пусть ф-ция определена в и имеет производные до n-го порядка включительно в самой точке С, причем , а . Для того, чтобы точка (c, ) была точкой перегиба графики функции достаточно, чтобы n было нечетно.

Док-во: Рассмотрим в окрестности точки С, она как функция имеет производные до (n-2) – го порядка. Разложим ее по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. , где -б.м.ф. при . . . . Существует , (сохраняется знак предела). Если n-нечетное, существует такая, в пределах которой при переходе значения аргумента через С, вторая производная меняет знак. Согласно первому достаточному условию, точка (c, ) – точка перегиба.

Определение б.б. функций. Теорема об их связи с б.м. функциями.

Функция определённая в называется б.б. функцией при , если , т.е.

Теорема:

I. Пусть функция является б.б.ф. при , тогда - представляет собой б.м.ф. при .

, тогда - б.м.ф. при .

II. Пусть функция - б.м.ф. при отличная от нуля в некоторой , тогда - б.б.ф. при .

, тогда - б.б.ф. при .

Билет №28.

Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.

Пусть определена и дважды дифференцируема на . Для того, чтобы график функции имел направление выпуклости вниз (вверх) достаточно, чтобы была неотрицательная (неположительная) на .

Доказательство:

Дано:

Доказать: - выпуклость вниз на .

Пусть .

Уравнение касательной:

, где , если , , если ,

, т.к.

график функции на лежит не ниже касательной выпуклость вниз на .

Доказать теорему о пределе промежуточной функции.

Пусть функции и имеет конечный предел А при и пусть тогда

Доказательство:

,

,

Рассмотрим , начиная с некоторого номера N и , будут одинакого выполняться . Значит,

Билет №29.

Доказать теорему Лагранжа.

Пусть функция .

11. Определена и непрерывна на отрезке .

12. Дифференцируема на интервале .

Тогда существует из интервала .

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где - константа.

5. Она непрерывна на

6. дифференцируема на .

Все условия теоремы Ролля выполняются существует из

Вывести формулу для производной сложной функции.

Пусть функция , дифф. В точке t=t0, а функция - дифференцируема в точке , тогда функция дифференцируема в точке t=t0, причем .

Док-во (должны доказать, что ). Имеем, что . . .

Билет №30.

Кривизна плоской кривой, формула кривизны.

Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.

- средняя кривизна кривой Г. Кривизной Г в точке S₀ называют предел (если он существует) средней кривизны при стремлении к нулю. .

. Если , то полагают , прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания называется нормалью к кривой Г. Точка нормали, отстоящая от точки касания на величину, равную радиусу кривизны, называют центром кривизны. Совокупность всех центров кривизны данной кривой называют эволютой и обозначат . Сама кривая Г по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Некоторые свойства эволюты и эвольвенты:

1. Нормаль к кривой Г является касательной для эволюты в соответствующем центре кривизны.

2. При монотонном возрастании радиуса кривизны, приращение радиуса кривизны равно, по абсолютной величине, длине эволюты между соответствующими центрами кривизны.

Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.