![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть ф-ция определена в
и имеет производные до n-го порядка включительно в самой точке С, причем
, а
. Для того, чтобы точка (c,
) была точкой перегиба графики функции достаточно, чтобы n было нечетно.
Док-во: Рассмотрим в окрестности точки С, она как функция имеет производные до (n-2) – го порядка. Разложим ее по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
, где
-б.м.ф. при
.
.
.
.
Существует
, (сохраняется знак предела). Если n-нечетное, существует
такая, в пределах которой при переходе значения аргумента через С, вторая производная меняет знак. Согласно первому достаточному условию, точка (c,
) – точка перегиба.
Определение б.б. функций. Теорема об их связи с б.м. функциями.
Функция определённая в
называется б.б. функцией при
, если
, т.е.
Теорема:
I. Пусть функция является б.б.ф. при
, тогда
- представляет собой б.м.ф. при
.
, тогда
- б.м.ф. при
.
II. Пусть функция - б.м.ф. при
отличная от нуля в некоторой
, тогда
- б.б.ф. при
.
, тогда
- б.б.ф. при
.
Билет №28.
Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.
Пусть определена и дважды дифференцируема на
. Для того, чтобы график функции имел направление выпуклости вниз (вверх) достаточно, чтобы
была неотрицательная (неположительная) на
.
Доказательство:
Дано:
Доказать: - выпуклость вниз на
.
Пусть .
Уравнение касательной:
, где
, если
,
, если
,
, т.к.
график функции
на
лежит не ниже касательной
выпуклость вниз на
.
Доказать теорему о пределе промежуточной функции.
Пусть функции и
имеет конечный предел А при
и пусть
тогда
Доказательство:
,
,
Рассмотрим , начиная с некоторого номера N
и
, будут одинакого выполняться
. Значит,
Билет №29.
Доказать теорему Лагранжа.
Пусть функция .
11. Определена и непрерывна на отрезке .
12. Дифференцируема на интервале .
Тогда существует из интервала
.
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где
- константа.
5. Она непрерывна на
6. дифференцируема на .
Все условия теоремы Ролля выполняются существует
из
Вывести формулу для производной сложной функции.
Пусть функция , дифф. В точке t=t0, а функция
- дифференцируема в точке
, тогда функция
дифференцируема в точке t=t0, причем
.
Док-во (должны доказать, что ). Имеем, что
.
.
.
Билет №30.
Кривизна плоской кривой, формула кривизны.
Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.
- средняя кривизна кривой Г. Кривизной Г в точке S0 называют предел (если он существует) средней кривизны при стремлении
к нулю.
.
. Если
, то полагают
, прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания называется нормалью к кривой Г. Точка нормали, отстоящая от точки касания на величину, равную радиусу кривизны, называют центром кривизны. Совокупность всех центров кривизны данной кривой называют эволютой и обозначат
. Сама кривая Г по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.
Некоторые свойства эволюты и эвольвенты:
1. Нормаль к кривой Г является касательной для эволюты в соответствующем центре кривизны.
2. При монотонном возрастании радиуса кривизны, приращение радиуса кривизны равно, по абсолютной величине, длине эволюты между соответствующими центрами кривизны.
Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 464 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!