Где - Лагранж

Пеано

Где - Лагранж

Коши

, , ,

, т.к. sin x - нечет., то вып. усл.:

Билет №3.

Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.

, где

Пеано

Где - Лагранж

Коши

, , ;

Сравнение на бесконечности роста показательной, степенной и логарифмических функций.

1) , где s>0, x>0; .

2) ; ; = ; .

3) (по транзитивности)

Билет №4.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда:

1. на - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,

Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.

Для того, чтобы функция , определённая в имела конечный предел при , необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при (, где - б.м.ф. при ).

Доказательство: I Необходимость:

Дано:

Доказать: , где - б.м.ф. при .

Пусть по определению б.м.ф - б.м.ф. при .

II Достаточность:

Дано: , где - б.м.ф. при .

Доказать:

Билет №5.

Доказать второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c – локальный минимум, если , то x=c – локальный максимум.

Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С.

, где - б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.

Вывести уравнение наклонной асимптоты.

Прямая - называется правосторонней наклонной асимптотой графика при , если , где -б.м.ф. при . Прямая - называется левосторонней наклонной асимптотой графика при , если , где -б.м.ф. при . Если , , то y=kx+b – двусторонняя наклонная асимптота.

Теорема. Для того, чтобы y=kx+b была правосторонней (левосторонней) наклонной асимптотой y= при (при ) необходимо существование двух пределов: ; И достаточно существование .

Необходимость Дано: y=kx+b – правосторонняя наклонная асимптота.

Доказать: ; .

Док-во: , где - б.м.ф.; . . Т.к. И .

Достаточность Дано:

Доказать: y=kx+b – правосторонняя наклонная асимптота.

Док-во. Т.к. существует предел , то . - правосторонняя наклонная асимптота (из определения).

Билет №6.

Доказать необходимое условие возрастания дифференцируемой функции.

Для того, чтобы , определённая и дифференцируемая на интервале (а;b) была возраст. на этом интервале, необходимо, чтобы, .

Дано:f(x)-возраст.

Док-ть: .

Доказательство: из опред. возраст. ф-ции ;

;

если , то . Т.к. f(x) – диф-ма, то .

По св-ву сохранения знака нестрогого нер-ва при предельном переходе: .

(2 дост.- по т. Лагранжа).

Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности. Доказать теорему о единственности предела.

Число а называется пределом числовой последовательности при если для любого Е>0 существует натуральное число N(E), такое, что для любых n>N(E) выполняется условие , записывают .

Числовая последовательность монотонно не убывает (не возрастает) при , если для выполнено .

Признак: если числовая последовательность при , монотонно не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом A (B), тогда она сходится и её предел не больше, чем A (не меньше, чем B)

Если последовательность , при имеет конечный предел, то он единственный.

Доказательство: Пусть имеет 2 предела a и b при . Пусть для определённости a>b .

;

.

N=max(N₁;N₂) эти неравенства выполняются одновременно, чего быть не может, т.к. по определению E окрестность точки а содержит все члены последовательности, и E окрестность точки b содержит все члены последовательности все члены не могут быть одновременно в 2 окрестностях, т.к. они не пересекаются.

Билет №7.

Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Для того, чтобы функция, дифференцируемая в точке , имела локальный экстремум необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0.

Доказательство: следует из теоремы Ферма.

Дано: точка – точка локального экстремума.

Доказать: .

Согласно определению локального экстремума, функция принимает в либо максимальное, либо минимальное значение по теореме Ферма производная в точке равна 0.

Т. Ферма:

Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть так как функция дифференцируема в . ; ; Т.к. .

Вывести 1 замечательный предел:

Пусть , .

Ясно, что , но

, т.е.

, т.к. .

Билет №8-1.

Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в , представляют собой б.м.ф. при , причем в . Если .

Доказательство: Рассмотрим { . Доопределим по непрерывности данные функции нулем в точке a (f(a)=0, g(a)=0). Тогда на [a, ] функции f(x) и g(x) непрерывны, на (a; ) f(x) и g(x) дифференцируемы. По теореме Коши при по условию теоремы >

Замечание 1: точка а может быть бесконечной, тогда или Формулировка: пусть f(x) b g(x) определены и дифференцируемы на и представл. Б.м.ф. при , причем Если

Замечание 2: если и удовлетворяют всем условиям Б-Л и , то и т. д.

Билет №8-2.

Векторная функция скалярного аргумента: и её производная. Касательная к пространственной кривой. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.

Рассмотрим [a,b]. Пусть любому поставлен в соответствии некоторый вектор , тогда говорят, что на [a,b] задана векторная функция скалярного аргумента.

Пусть задана ортонормированная система координат с базисом , тогда

Функции x(t), y(t), z(t)- скалярные функции действительного аргумента – координатные функции для вектор-функции .

Геометрический смысл векторной функции:

Функции соответствует некоторая кривая

Такое представление кривой называют годографом. называется пределом функции скалярного аргумента при если:

.

Рассмотрим приращение векторной функции, придадим t приращение , тогда

.

Производной в точке называется предел разностного отношения при

, .

, .

=

=

Пусть . Предельное положение секущей при называют касательной к кривой Г в точке . . Тогда при касательная в точке параллельна вектору . Уравнение касательной: .

- каноническое уравнение касательной.

Теорема: Пусть векторная функция скалярного аргумента , - является непрерывно-дифференцируемой функцией на , которой соответствует некоторая кривая Г: . Тогда длина дуги Г удовлетворяет: (при этом Г имеет конечную длину).

Доказательство: , где , по условию теоремы, функция непрерывно-дифференцируема, значит на отрезке - непрерывная функция. , (по 1 теореме Вейерштрасса). при .
Билет №9-1.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа.

Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена в и имеет в производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции из , тогда для произвольного значения P, p>0 , расположенная между a и x, такие что справедлива следующая формула: . . Формула называется формулой Тейлора с центром в точке a; - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде.

эта функция – многочлен степени n – многочлен Тейлора с центром в точке а.

Обозначим . Рассмотрим вспомогательную функцию .

, где Покажем, что на [a;x] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) непрерывность на [a;x];

2) дифференцируема на (a;x);

3)

; ; ;

Теорема. Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б. м. более высокого порядка малости, чем при . , .

Доказать:

; =0; ; n раз применяем пр. Б-Л.=

Такую запись остаточного члена называют ост. Чл. В форме Пеано: .

Рассмотрим другие формы записи остаточного члена. ,

1) p=n+1, тогда - остаточный член в форме Лагранжа.

2) p=1 – в форме Коши: Число в формуле Лагранжа и формуле Коши разные, т. К. зависят от P. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность, которую мы получаем, заменяя функцию f(x) ее многочленом Тейлора. Если нас интересует порядок малости такой замены при , то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано.

Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.

Пусть функция имеет производную любого порядка в и эти производные ограничены одной и той же константой M. ;

Билет №9-2.

Свойства б.м. функций.

1. Сумма конечного числа б.м.ф. при представляет собой б.м. функцию при .

- б.м.ф.

2. Произведение конечного числа б.м.ф. при представляет собой б.м. функцию при .

- б.м.ф.

3. Пусть - б.м.ф. при , а - ограничена в , тогда - б.м.ф. при .

. Пусть , тогда , для , тогда - б.м.ф. при .

Билет №10.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на :

1. - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,

Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Дифференциалом функции y=f(x) в точке называют главную линейную, относительно приращения аргумента, часть полного приращения функции в данной точке.

Инвариантность формы первого дифференциала.

; , где Х – независимая переменная.

Билет №11.

Доказать второе достаточное условие экстремума.

Пусть ф-ция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ная производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c –локальный минимум, если , то x=c –локальный максимум.

Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С. , где -б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.

Доказать теорему о пределе произведения функций.

Пусть и при имеют конечные пределы равные A и B соответственно, тогда

Дано:

Доказательство: , ,

Билет №12.

Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.

Пусть определена и дважды дифференцируема на . Для того, чтобы график функции имел направление выпуклости вниз (вверх) достаточно, чтобы была неотрицательная (неположительная) на .

Доказательство:

Дано:

Доказать: - выпуклость вниз на .

Пусть .

Уравнение касательной:

, где , если , , если ,

, т.к.

график функции на лежит не ниже касательной выпуклость вниз на .

Доказать теорему о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел.

Если , то существует окрестность точки а, в которой и знак совпадает со знаком значения b.

Доказательство: по условию , т.е. , или справедливы неравенства .

Возьмём за число . Тогда , , являются числами одного знака. Следовательно, в силу неравенства , и имеет знак числа b в указанной -окрестности точки а.

Билет №13.

Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать необходимое условие.

Пусть функция определена и дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы (с, ), была точкой перегиба графика функции , необходимо чтобы .

Доказательство:

Дано: (с, ) – точка перегиба.

Доказать: .

- это значит, согласно свойству непрерывности, что функция обладает знакопостоянством.

, т.е. в этой окрестности график функции имеет одинаковые направления выпуклости слева и справа от точки С, что противоречит определению точки перегиба в точке С .

Доказать теоремы об эквивалентных бесконечно малых.

Теорема. Для того, чтобы б.м.ф. и при были эквивалентными, при необходимо и достаточно, чтобы , .

Доказательство. Необходимость. Дано. Доказать, что (.

Достаточность. Дано. Доказательство. .

Рассмотрим сумму конечного числа б.м.ф. , где - б.м.ф. при .

Пусть , k=2,3,….n тогда - главная часть б.м.ф.

Билет №14.

Доказать теорему Коши.

Пусть функции f(x) и g(x): 1) определены и непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируемы на интервале (a,b); 3) тогда .

Доказательство: Вводим вспомогательную функцию . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: 1) непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируема на (a,b); 3) .

(по теор. Ролля). . .

Вывести формулу для производной сложной функции.

Пусть функция , дифф. В точке t=t0, а функция - дифференцируема в точке , тогда функция дифференцируема в точке t=t0, причем .

Док-во (должны доказать, что ). Имеем, что . . .

Билет №15.

Доказать достаточное условие возрастания дифференцируемой функции.

Для того, чтобы функция , определённая и дифференцируемая на , возрастала на , достаточно, чтобы на .

Доказательство:

Дано:

Доказать: - возрастает на

1) - определена

2) - дифференцируемая.

Согласно т. Лагранжа , т.к. , - возрастает на .

Длина дуги плоской кривой. Производная и дифференциал длины дуги плоской кривой.

Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.

; - Средняя кривизна кривой Г. Кривизной кривой Г в точке называют предел (если он существует) средней коивизны при . ; ; Если , то полагают
Билет №16-1.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа.

Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена в и имеет в производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции из , тогда для произвольного значения P, p>0 , расположенная между a и x, такие что справедлива следующая формула: . . Формула называется формулой Тейлора с центром в точке a; - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде.

эта функция – многочлен степени n – многочлен Тейлора с центром в точке а.

Обозначим . Рассмотрим вспомогательную функцию .

, где Покажем, что на [a;x] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1. непрерывность на [a;x];
2. дифференцируема на (a;x);
3. 

; ; ;

Теорема. Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б. м. более высокого порядка малости, чем при . , .

Доказать:

; =0; ; n раз применяем пр. Б-Л.=

Такую запись остаточного члена называют ост. чл. в форме Пеано: .

Рассмотрим другие формы записи остаточного члена. ,

1) p=n+1, тогда - остаточный член в форме Лагранжа.

2) p=1 – в форме Коши: Число в формуле Лагранжа и формуле Коши разные, т. к. зависят от P. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность, которую мы получаем, заменяя функцию f(x) ее многочленом Тейлора. Если нас интересует порядок малости такой замены при , то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано.

Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.

Пусть функция имеет производную любого порядка в и эти производные ограничены одной и той же константой M. ;

Билет №16-2.

Доказать непрерывность функций и

1)

Зададим приращение аргумента функции в точке X:

Здесь использовано неравенство. Итак,. Тогда, т.е. функция непрерывна в точке X, а т.к. точка X принадлежит R, т.е. произвольна, то можна сказать, что функция непрерывна на всей числовой оси.

Ыв

Зададим приращение аргумента функции в точке X:

, - непрерывная функция.

Билет №17.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда:

1. на - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,