Интегрирование тригонометрических функций. Рассмотрим интегралы вида , где R, как и раньше, рациональная функция своих аргументов и

Рассмотрим интегралы вида , где R, как и раньше, рациональная функция своих аргументов и . Такие интегралы всегда рационализируются с помощью подстановки , которая называется универсальной подстановкой. Действительно,

,

, , . Поэтому − интеграл от рациональной функции. Следовательно, любой интеграл рассматриваемого вида выражается через элементарные функции.

Пример 1. Вычислим интеграл .

Решение. Имеем

.

Несмотря на то, что универсальная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида , на практике она часто приводит к слишком громоздким вычислениям. Во многих случаях проще использовать другие подстановки. В частном случае,

если , то ,

если , то ,

если , то или .

Эти подстановки предпочтительнее универсальной подстановки, поскольку преобразования получаются менее громоздкими.

Для преобразования подынтегрального выражения часто применяются различные тригонометрические формулы. В первую очередь применяют формулы

, .

Примеры. Вычислим интегралы: 2) ; 3) .

Решение. 2) Преобразуем подынтегральное выражение по одной из приведенных выше формул. Получим = .

3) Подынтегральная функция , поэтому нужно сделать подстановку . Имеем = . Для вычисления последнего интеграла подынтегральную функцию представим в виде суммы простых дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов (подынтегральная функция – правильная рациональная дробь):

,

,

. Значит, = = .