Интегрирование методом замены переменной и по частям

Метод замены переменной (метод подстановки) – наиболее общий метод, часто применяемый при вычислении интегралов. Им часто приходится пользоваться и для того, чтобы получить табличный интеграл из справочника. Состоит он в том, что при вычислении

(2.1)

вместо переменной х вводится новая переменная t по формуле , причем подбирается так, чтобы после подстановки получилась подынтегральная функция, более удобная для интегрирования. При этом справедлива формула

. (2.2)

Для доказательства этой формулы достаточно вычислить дифференциалы от каждой ее части. Имеем

. Дифференциалы равны, поэтому обе части равенства представляют собой одно и то же семейство первообразных для функции , то есть формула (2.2) имеет место.

Таким образом, для вычисления интеграла (2.1) методом замены переменной нужно не только в функции заменить х на , но и выразить через t и , то есть положить . В результате вычисления получим функцию от переменной t. Чтобы возвратиться к переменной х, достаточно в полученной функции заменить t значением , где – обратная к функция, то есть t найти из уравнения .

Заметим, что формулу (2.2) часто применяют справа налево, то есть записывают ее в виде

, где . (2.3)

Если – первообразная для функции , то есть , то из (2.3) получаем

.

В частном случае, когда , имеем

откуда

.

Примеры. Вычислим интегралы: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) = = (полагаем = .

2) .

3) .

Выведем теперь формулу интегрирования по частям. Пусть и – функции, дифференцируемые на некотором промежутке Х. Тогда

,

откуда

.

Интегрируя обе части последнего равенства и учитывая, что для первообразной является uv, получим

. (2.4)

Формула (2.4) и называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым для интегрирования.

Примеры. Вычислим интегралы: 1) ; 2) .

Решение. 1) .

2) = .

При вычислении интегралов методом интегрирования по частям важно уметь правильно выбирать u и dv. Общий принцип состоит в том, что получающийся интеграл должен быть проще исходного интеграла.

Укажем некоторые классы интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям.

I. , где – многочлен; нужно положить .

II. .

III. .

IV. . В каждом из этих интегралов за u берут обратную тригонометрическую функцию.

V. , . Нужно дважды применить формулу интегрирования по частям, оба раза взяв за u либо показательную, либо тригонометрическую функцию.

Пример. Вычислим интеграл .

Решение. . Отсюда и .